Logique des propositions/Validité

Validité d'une proposition

Définitions

Pour vérifier qu'une proposition est valide,

1. on effectue une analyse sémantique (arbre de vérité, arbre de Quine)
2. si l’on obtient :

• que des V à la fin du processus, la formule est valide; c’est une tautologie.
• un F (au moins), la formule n’est pas valide; ce n’est pas une tautologie.

C'est le cas lorsque l’on obtient que des F sur un arbre de vérité Une antinomie est la négation d'une tautologie, et réciproquement.

C'est le cas pour la plupart des propositions logiques.

Liste non exhaustive de propositions valides

• $a\vee \mathrm{\neg }a$ ⇒ (principe du tiers-exclu)
• $\mathrm{\neg }(a\wedge \mathrm{\neg }a)$ ⇒ (principe de non-contradiction)
• $(\mathrm{\neg }a\wedge (a\vee b))\to b$ ⇒ (modus tollens)
• $(a\wedge (a\to b))\to b$ ⇒ (modus ponens)
• $(a\to (b\to c))\leftrightarrow ((a\wedge b)\to c)$ ⇒ (principe de détachement)
• $((a\to b)\wedge (b\to c))\to (a\to c)$ ⇒ (transitivité de la conditionnalité)
• $\mathrm{\neg }(a\vee b)\leftrightarrow (\mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b)$ ⇒ (Lois de De Morgan 1)
• $\mathrm{\neg }(a\wedge b)\leftrightarrow (\mathrm{\neg }a\vee \mathrm{\neg }b)$ ⇒ (Lois de De Morgan 2)
• $(a\to b)\leftrightarrow (\mathrm{\neg }b\to \mathrm{\neg }a)$ ⇒ (Loi de contraposition)
• $(a\to b)\leftrightarrow (\mathrm{\neg }a\vee b)$
• $(a\to b)\vee (b\to a)$
• $(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\to b)\wedge (b\to a))$
• $(a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\wedge b)\vee (\mathrm{\neg }a\wedge \mathrm{\neg }b))$