Calcul différentiel/Exercices/Équations différentielles linéaires

$I$ désignera un intervalle réel et $\mathrm{\Omega }$ un ouvert de ${ℝ}^n$. Modèle:Clr

Exercice 1

Soient $n$ fonctions continues $a_0,\dots ,a_{n-1}:I\to ℝ$.

1. Mettre l'équation différentielle $y^{(n)}=a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y$ sous la forme d'un système d'ordre $1$.
2. Lorsque les fonctions $a_j$ sont des constantes, déterminer le polynôme caractéristique de la matrice associée.

Exercice 2

Soient un entier $N\ge 2$ et un réel $C$. Montrer que l'équation différentielle

$x(x+C)y^{″}+CN{y}^{\prime }-N(N-1)y=0$

admet comme solutions particulières non nulles, sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ :

1. une fonction de la forme $x\mapsto x^{\alpha }$, pour un réel $\alpha$ à déterminer ;
2. un polynôme dont on précisera le degré.

Exercice 3

Soient $a,b:ℝ\to ℝ$ deux fonctions continues $T$-périodiques. On s'intéresse aux solutions de

$y^{\prime }+ay+b=0$.

Montrer que :

1. si $y$ est solution, $t\mapsto y(t+T)$ aussi ;
2. une solution $y$ est $T$-périodique si (et seulement si) $y\left(T\right)=y\left(0\right)$ ;
3. toute solution $y$ vérifie : $y\left(T\right)=$$y\left(0\right){\mathrm{e}}^{-\underset{0}{\overset{T}{\int }}a\left(t\right)\mathrm{d}t}-\underset{0}{\overset{T}{\int }}b\left(t\right){\mathrm{e}}^{-\underset{t}{\overset{T}{\int }}a\left(s\right)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t$.
   Que peut-on en conclure ?

Exercice 4

1. Soient $f:ℝ\to ℝ$ une fonction de classe CModèle:Exp et $a$ un réel tel que $f\left(a\right)=0$ et $f^{\left(k\right)}\left(a\right)\ne 0$. Montrer que $a$ est un zéro isolé de $f$.
2. Soient $n$ fonctions continues $a_0,\dots ,a_{n-1}:ℝ\to ℝ$ et $y$ une solution non identiquement nulle de
   $y^{\left(n\right)}=\sum _{j=0}^{n-1}{a}_j{y}^{\left(j\right)}$.
   Montrer que les éventuels zéros de $y$ sont isolés.

Exercice 5

On considère l'équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

$\left(ℰ\right)y^{″}+y=f$

où $f:ℝ\to ℝ$ est une fonction continue. Montrer que :

1. la fonction $x\mapsto \underset{0}{\overset{x}{\int }}f\left(t\right)\sin (x-t)\mathrm{d}t$ est une solution de $\left(ℰ\right)$. En déduire la solution générale de $\left(ℰ\right)$ ;
2. si $\mathrm{\forall }t\in ℝ\left|f\left(t\right)\right|\le \frac{1}{1+t^2}$ alors toutes les solutions de $\left(ℰ\right)$ sont des fonctions bornées. En est-il de même si $f$ est seulement bornée sur $ℝ$ ?

Exercice 6

1. Soient ${\omega }_1,{\omega }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2\in ℂ$, avec ${\omega }_1\ne {\omega }_2$. Montrer que si $\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\alpha }_1{\mathrm{e}}^{{\omega }_{1}t}+{\alpha }_2{\mathrm{e}}^{{\omega }_{2}t}=0$ alors ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$.
2. Que peut-on en déduire sur les solutions de l'équation différentielle
   $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$,
   où $a$ et $b$ sont des constantes réelles ?

Exercice 7

Calculer la résolvante $R(t,t_0)$ du système suivant.

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3x,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=2y+z,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=2z$.

Avant de présenter les calculs, on indiquera la méthode que l'on entend suivre (il y en a plusieurs). Modèle:Solution