Intégration de Riemann/Exercices/Intégrales impropres

Soient $\alpha ,\beta ,\gamma \in ℝ$.

Exercice 5-1

Nature de :

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x}{(1-x{)}^2}\mathrm{d}x$, $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x(1-x)}$ ?
2. $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x\sqrt{4x^2+x+1}}\mathrm{d}x$ ?
3. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x$ et $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2^{-x}}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x$ ? $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha }\exp (\beta t+\frac{\gamma }{t})\mathrm{d}t$ ?
4. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{\alpha }}{\sqrt{x^{\beta }+1}}\mathrm{d}x$ ?
5. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{1+x^2}\mathrm{d}x$ ?
6. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{1-\sqrt{x}}$ ?
7. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(\tan x-x{)}^{\alpha }}$ et $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(x-\sin x{)}^{\alpha }}$ ?
8. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (1+x)}{x^{\alpha }(1-x{)}^{\beta }}\mathrm{d}x$ ?
9. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^{\arctan x}}\mathrm{d}x$ ?
10. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln \ln (x+1)}{(1+x^4{)}^{\beta }}\mathrm{d}x$ ?
11. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x$ ?
12. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{{\mathrm{e}}^x-\cos x}$ ?
13. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1-{\mathrm{e}}^{-x}}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x$ et $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{({\mathrm{e}}^x-1{)}^{\alpha }}{\ln (1+x)}\mathrm{d}x$ ?

Exercice 5-2

Nature de :

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }{|\ln t|}^{\beta }}$ et $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }{|\ln t|}^{\beta }}$ ?
2. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x\ln x}{(1+x^2{)}^{\alpha }}\mathrm{d}x$ ?
3. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{\alpha }-1}{\ln x}\mathrm{d}x$ ?
4. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{x}\sin (1/x^{\alpha })}{\ln (1+x)}\mathrm{d}x$, si $\alpha >0$ ?

Exercice 5-3

Nature de $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x$ et de $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin x}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x$ ? Modèle:Solution

Nature de :

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sin (1/x)\mathrm{d}x$ ?
2. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\arccos x}$ ?
3. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^2)\mathrm{d}x$ ?
4. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (x^{\alpha })\mathrm{d}x$ et $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin \frac{1}{x\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ ?
5. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^{2}x}{x}\mathrm{d}x$ ?
6. $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(1-\cos \frac{1}{\sqrt{x}})\sin x\mathrm{d}x$ ?
7. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1-\cos x}{x^{\alpha }}\mathrm{d}x$, $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^{2}y}{y^{\alpha }}\mathrm{d}y$ et $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\sin x\cos x}{x}\mathrm{d}x$ ?
8. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin x\sin \frac{1}{x}\mathrm{d}x$ ?
9. $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\sqrt{x^2+\cos x}-x)\mathrm{d}x$ ?

Exercice 5-4

Soient $f:{ℝ}_{+}\to ℝ$ une fonction localement intégrable, et $I_n=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. On suppose que $I_n\to I\in ℝ$. Est-il vrai que sous cette hypothèse :

1. Si l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ converge alors $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=I$ ?
2. Si $f$ est positive alors l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ converge ?
3. Si $f$ est positive alors l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^2(x)\mathrm{d}x$ converge ?
4. Si $f$ est positive alors $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=0$ ?
5. Si $f$ admet en $+\mathrm{\infty }$ une limite (finie ou infinie), alors l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ converge ?
6. Si $f$ est dérivable et de dérivée bornée, alors l'intégrale $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ converge ?

Exercice 5-5

En admettant, bien que vous soyez supposé(e) savoir le trouver par vous-même, que

$\frac{1}{1+X^4}=g(X)+g(-X)$ avec $g(X):=\frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}X+\frac{1}{2}}{X^2+\sqrt{2}X+1}$,

calculer :

1. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{1+x^4}$ ;
2. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{y^2\mathrm{d}y}{1+y^4}$ ;
3. $\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{\tan t}\mathrm{d}t$.

Exercice 5-6

Pour quelle valeur de $\alpha$ l'intégrale

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}-\frac{\alpha }{x+1})\mathrm{d}x$

est-elle convergente ? La calculer dans ce cas.

Rappel : une primitive de $\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ est $\mathrm{arsinh}t=\ln (t+\sqrt{t^2+1})$. Modèle:Solution

Exercice 5-7

Montrer la convergence et calculer :

1. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$, $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}$, $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t^2+2t+2}$ et $I_n:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2{)}^{n+1}}$ ;
2. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}(1+t)}$ et $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}(1+t)}$ ;
3. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$ et $\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^x}{\sqrt{1-{\mathrm{e}}^x}}\mathrm{d}x$ ;
4. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(t+1)(t+2)}$ ;
5. $\underset{2}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x^2-1}$ ;
6. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ ;
7. $\underset{3}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(x^2-3x+2{)}^2}$ ;
8. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}\cos t\mathrm{d}t$ ;
9. $\underset{4}{\overset{5}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(t-4)(5-t)}}$ ;
10. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}\mathrm{d}t$ ou plus généralement, $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\ln t\mathrm{d}t$ avec $f(t)=\frac{t^{\gamma }}{{(1+t^{{\alpha }_1})}^{{\beta }_1}\dots {(1+t^{{\alpha }_n})}^{{\beta }_n}}$ et $0<2+2\gamma =\sum {\alpha }_i{\beta }_i$ ;
11. $I_{\alpha }:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(1+t^2)(1+t^{\alpha })}\mathrm{d}t$ et $J_{\alpha }:=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{\alpha }}{(1+t^2)(1+t^{\alpha })}\mathrm{d}t$ ($\alpha \in ℝ$) ;
12. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}\mathrm{d}t$ ;
13. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(a+x^2)(b+x^2)}$ et $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2\mathrm{d}x}{(a+x^2)(b+x^2)}$ ($a,b>0$) ;
14. $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{\cosh x}\mathrm{d}x$.
15. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x^{\alpha }}\mathrm{d}x$ pour $\alpha >0$ et $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{x}}\mathrm{d}x$ ;
16. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\alpha x+\beta ){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$ et $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x^2-3x-7){\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$ ;
17. $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{t^{\alpha }}\mathrm{d}t$ pour $\alpha >1$ et $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{t^{\alpha }}\mathrm{d}t$ pour $\alpha <1$ ;
18. $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\cosh x}$.

Exercice 5-8

Soit $T\left(y_0\right)=\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{g}}}\underset{0}{\overset{y_0}{\int }}\frac{\sqrt{1+{{\psi }^{\prime }(y)}^2}}{\sqrt{y_0-y}}\mathrm{d}y$.

1. Signification physique pour un toboggan $x=\psi (y)$ ?
2. Convergence et calcul pour une planche $y=\lambda x$ ?
3. Et pour $y=x^2$ ?

Exercice 5-9

Soit $f:[0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ une fonction continue telle que $\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t$ converge et soient $a,b>0$. Pour tout $x>0$, on pose :

$F(x):=\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t\text{et}G(x):=\underset{ax}{\overset{bx}{\int }}\frac{f(t)}{t}\mathrm{d}t$.

1. Montrer que $F=G$.
2. Montrer que si une fonction $g:[0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ$ est continue et nulle en $0$, alors $\underset{x\to 0}{\lim }\underset{ax}{\overset{bx}{\int }}\frac{g(t)}{t}\mathrm{d}t=0$.
3. Déduire des deux questions précédentes que
   $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(at)-f(bt)}{t}\mathrm{d}t=f(0)\ln \frac{b}{a}$.
4. Application : montrer que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\exp (-at)-\exp (-bt)}{t}\mathrm{d}t=\ln \frac{b}{a}$.

Exercice 5-10

Nature de $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (x^4+x^2+x)\mathrm{d}x$ ? Modèle:Solution

Exercice 5-11

Soit $f$ une fonction uniformément continue sur ${ℝ}_{+}$ et telle que $\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ converge. Montrer que $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }f=0$. Modèle:Solution

Exercice 5-12

Calculer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{n}^2\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{\mathrm{e}}^{-n^2{x}^2}\mathrm{d}x$ et $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }n\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-n^2{x}^2}\mathrm{d}x$. Modèle:Solution

Exercice 5-13

Pour $n\in \mathbb{N}$ et $x>0$, on pose :

$f_n(x):=\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t^n}\mathrm{d}t$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, trouver une relation entre $f_n(x)$ et $f_{n+1}(x)$.
2. Montrer par ailleurs que $f_{n+1}(x)\le \frac{1}{x}{f}_n(x)$.
3. Pour $n$ fixé, déduire de ces deux questions un équivalent de $f_n(x)$ quand $x\to +\mathrm{\infty }$.
4. Pour $n$ fixé, quand $x\to +\mathrm{\infty }$, montrer que $f_1(x)$ a un développement asymptotique d'ordre $n$ de la forme $f_1(x)=\sum _{k=1}^n\frac{a_k{\mathrm{e}}^{-x}}{x^k}+o\left(\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{x^n}\right)$. On déterminera les $a_k$.

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