Fonctions d'une variable réelle/Continuité uniforme

Dans tout ce chapitre, $f:I\to ℝ$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.

Les notions de fonction uniformément continue / höldérienne / lipschitzienne seront étendues aux espaces métriques à peu de frais, dans la leçon « Topologie générale » (niveau 16).

Définition

Voici une notion de continuité plus fine que la continuité « simple ». Elle sert d'un point de vue théorique notamment à construire l'intégrale de Riemann ou à démontrer le théorème de Weierstrass sur l'approximation de fonctions.

La continuité « simple » de $f$ sur $I$ s'écrit par comparaison : $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\forall }x\in I\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }y\in I|x-y|\le \delta \Rightarrow |f\left(x\right)-f\left(y\right)|\le \epsilon$.

Le terme « uniforme » signifie que le choix de $\delta$ en fonction de $\epsilon$, dans la définition de la continuité uniforme, ne dépend pas du point $x$ considéré ; il est uniforme sur $I$.

Propriétés et exemples

D'après la comparaison ci-dessus des deux définitions, on a immédiatement : Modèle:Remarque

La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant : Modèle:Exemple

Un autre contre-exemple est la fonction $ℝ\to ℝ,x\mapsto \sin ({\mathrm{e}}^x)$.

On a cependant une réciproque partielle :

Fonctions lipschitziennes et höldériennes

On dit alors que $f$ est $k$-lipschitzienne. S'il existe de tels $k$ alors le plus petit d'entre eux existe et est appelé la constante de Lipschitz de $f$.

Modèle:Exemple

Modèle:Définition On dit alors que $f$ est $a$-höldérienne : si $a=1$ , on retrouve la notion de fonction lipschitzienne.

La réciproque est fausse, comme le montre l'exemple suivant : Modèle:Exemple