Matrice/Exercices/Déterminant

Exercice 2-1

Soient $A,B\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ telles que $AB=BA$. Montrer que $\det (A^2+B^2)\ge 0$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Soient $A,B\in {\mathrm{M}}_n(\mathbb{Z})$. On suppose que les entiers $\det A$ et $\det B$ sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe $U,V\in {\mathrm{M}}_n(\mathbb{Z})$ telles que $AU+BV=I_n$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Modèle:Wikipédia À tout polynôme unitaire $P(X)=c_0+c_{1}X+\dots +c_{n-1}{X}^{n-1}+X^n$ on associe sa « matrice compagnon » :

$C(P)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \dots & 0& -c_0\\ 1& 0& \dots & 0& -c_1\\ 0& 1& \dots & 0& -c_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \dots & 1& -c_{n-1}\end{array}\right)$.

Démontrer que le polynôme minimal de $C(P)$ est $P$, et (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que $\det (X{I}_n-C(P))=P(X)$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Modèle:Wikipédia Soit

$V=\left(\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {{\alpha }_1}^2& \dots & {{\alpha }_1}^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {{\alpha }_2}^2& \dots & {{\alpha }_2}^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {{\alpha }_3}^2& \dots & {{\alpha }_3}^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& {{\alpha }_n}^2& \dots & {{\alpha }_n}^{n-1}\end{array}\right)$.

Démontrer que $\det V=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$. Modèle:Solution Quel est le rang de $V$ ? Modèle:Solution Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système linéaire

$\{\begin{array}{cc}x+y+z& =1\\ ax+by+cz& =d\\ a^{2}x+b^{2}y+c^{2}z& =d^2\end{array}$

avec $a,b,c\in ℝ$ deux à deux distincts et $d\in ℝ$. Modèle:Solution

Exercice 2-5

À l'aide de l'exercice précédent, déterminer (en fonction de $\lambda$ et $n$) pour quelle valeur de $\mu$ le déterminant suivant est nul :

$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ \lambda & 1& 2& \dots & 2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& \\ {\lambda }^{n-1}& 1& n& \dots & n^{n-1}\\ {\lambda }^n-\mu & 1& n+1& \dots & (n+1{)}^{n-1}\end{array}\right|$.

Exercice 2-6

Soient $A\in {\mathrm{M}}_{n,m}(ℝ)$ et $B\in {\mathrm{M}}_{m,n}(ℝ)$. Si $n>m$, montrer que $\det (AB)=0$. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Montrer que la matrice suivante de ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$ est inversible lorsque $n$ est pair :

$M=\left(\begin{array}{ccccc}0& \pm 1& \pm 1& \dots & \pm 1\\ \pm 1& 0& \pm 1& \dots & \pm 1\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& \\ \pm 1& \pm 1& \pm 1& \dots & \pm 1\\ \pm 1& \pm 1& \pm 1& \dots & 0\end{array}\right)$.

Indication : calculer son déterminant modulo 2. Modèle:Solution

Exercice 2-8

Soient les matrices par blocs

$M_1:=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 0& C\end{array}\right),M_2:=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ B& A\end{array}\right),M_3:=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$.

Montrer que

• $\det M_1=\det A\det C$,
• $\det M_2=\det (A+B)\det (A-B)$ et
• $\det (M_3)=\det A\det (D-C{A}^{-1}B)$ (si $A$ est inversible).

Que donne cette dernière formule lorsque $AC=CA$ ? Modèle:Solution

Exercice 2-9

Déterminer pour quelles valeurs de $t\in ℝ$ les polynômes $X^2+t/2$, $X-t$ et $(X+t+1{)}^2$ forment une base de ${ℝ}_2[X]$. Modèle:Solution

Exercice 2-10

Calculer les dix déterminants suivants.

$D_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 3& 3\\ 1& 2& 1\end{array}\right|,D_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 3& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right|,D_3=\left|\begin{array}{ccc}5& -3& 13\\ 0& -1& -16\\ 0& 0& 2\end{array}\right|,D_4=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right|,D_5=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right|,$

$D_6=\left|\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 1\\ 5& 2& 1& 0\\ 3& 1& -6& 7\\ 2& 4& 0& 1\end{array}\right|,D_7=\left|\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 4& 0& 2& 1\\ 2& 3& 0& -5\\ 1& 6& 6& 1\end{array}\right|,D_8=\left|\begin{array}{ccc}1& 2.10^2& 1\\ 0& -3.10^2& 1\\ 0& 6.10^5& -2.10^3\end{array}\right|,D_9=\left|\begin{array}{ccc}3& 4& -2\\ 1& 0& 1\\ 2& 1& \sqrt{2}\end{array}\right|\text{et}{D}_{10}=\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\end{array}\right|.$

1. Calculer l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs $(7,3)$ et $(1,4)$.
2. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs $(2,1,1)$, $(1,1,4)$ et $(1,3,1)$.

Exercice 2-11

Soit l'application $f:{ℝ}_n[X]\to {ℝ}_n[X],P\mapsto P+P^{\prime }$. Calculer le déterminant de $f$ dans la base canonique. Modèle:Solution

Exercice 2-12

Calculer le déterminant des matrices $A:=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{2}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{3}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{4}& m\end{array}\right)$ et $B:=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ b+c& c+a& a+b\\ bc& ca& ab\end{array}\right)$ et préciser pour quelles valeurs des paramètres elles sont inversibles. Modèle:Solution

Exercice 2-13

Montrer les formules suivantes où les déterminants sont d'ordre $n$ :

$d_n:=\left|\begin{array}{ccccc}2& -1& 0& \dots & 0\\ -1& 2& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & 2& -1\\ 0& \dots & 0& -1& 2\end{array}\right|=n+1,D_n:=\left|\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& \dots & n\\ -1& 0& 3& \dots & n\\ -1& -2& 0& \dots & n\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ -1& -2& -3& \dots & 0\end{array}\right|=n!.$

On pourra développer $d_n$ suivant la première ligne puis, par un développement supplémentaire, trouver une expression de $d_n$ en fonction de $d_{n-1}$ et $d_{n-2}$.

Pour $D_n$, on pourra effectuer les transformations élémentaires $L_k\leftarrow L_k+L_1$ pour $k>1$. Modèle:Solution Soient $a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_n\in ℂ$. Notons ${\mathrm{\Delta }}_{n+1}$ le déterminant de la Modèle:W d'ordre $n+1$ :

$\left(\begin{array}{ccccc}0& a_1& 0& \dots & 0\\ b_1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0& a_n\\ 0& \dots & 0& b_n& 0\end{array}\right)$.

Calculer ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,{\mathrm{\Delta }}_3$, puis ${\mathrm{\Delta }}_n$ pour tout $n$ (on distinguera les cas pair et impair). Modèle:Solution

Exercice 2-14

Modèle:Wikipédia Démontrer que

$\left|\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_1+b_1}& \frac{1}{a_1+b_2}& \dots & \frac{1}{a_1+b_n}\\ \frac{1}{a_2+b_1}& \frac{1}{a_2+b_2}& \dots & \frac{1}{a_2+b_n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{1}{a_n+b_1}& \frac{1}{a_n+b_2}& \dots & \frac{1}{a_n+b_n}\end{array}\right|=\frac{\mathrm{V}(a_1,\dots ,a_n)\mathrm{V}(b_1,\dots ,b_n)}{\prod _{i,j}(a_i+b_j)}$,

où $\mathrm{V}({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$ Modèle:Supra. Modèle:Solution

Exercice 2-15

Soit $\theta \in ]0,\pi [$. On considère la matrice d'ordre $n\ge 1$ :

$B_n(\theta )=\left(\begin{array}{cccccc}2\cos \theta & 1& 0& \dots & 0& 0\\ 1& 2\cos \theta & 1& \dots & 0& 0\\ 0& 1& 2\cos \theta & \dots & 0& 0\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0& 0& 0& \dots & 2\cos \theta & 1\\ 0& 0& 0& \dots & 1& 1+2\cos \theta \end{array}\right)$ (en particulier, $B_1(\theta )=(1+2\cos \theta )$).

1. Montrer que $\mathrm{\forall }n\ge 2\det B_{n+1}(\theta )=2\cos \theta \det B_n(\theta )-\det B_{n-1}(\theta )$.
2. En déduire (par récurrence) que $\det B_n(\theta )=\frac{\sin (n+1)\theta }{\sin \theta }+\frac{\sin n\theta }{\sin \theta }$.
3. Montrer que $\det B_n(\theta )$ s'annule pour $n$ valeurs distinctes de $\theta \in ]0,\pi [$ et les déterminer (on rappelle que $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$).
4. Soient $A_n=B_n(\pi /2)$ et $P_n$ son polynôme caractéristique. Calculer $P_n(-2\cos \theta )$ et déduire de ce qui précède les valeurs propres de $A_n$.

Exercice 2-16

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

$\left(\begin{array}{cccc}a& c& c& b\\ c& a& b& c\\ c& b& a& c\\ b& c& c& a\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}c& a& b& c\\ a& c& c& b\\ b& c& c& a\\ c& b& a& c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}a& x& y& z\\ b& x& y& z\\ c& x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\\ d& x^{\prime }& y^{\prime }& z^{\prime }\end{array}\right)$,

$\left(\begin{array}{cccc}1+a& b& a& b\\ b& 1+a& b& a\\ a& b& 1+a& b\\ b& a& b& 1+a\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}a& a& a^2& b+c+d\\ a& b& b^2& c+d+a\\ a& c& c^2& d+a+b\\ a& d& d^2& a+b+c\end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc}1& 0& a& a^2\\ 0& 1& b& b^2\\ 1& 0& c& c^2\\ 0& 1& d& d^2\end{array}\right)$.