Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite

Exercice 1-1

Calculer le carré de la série formelle $\frac{1}{1-X}=\sum _{k\in \mathbb{N}}{X}^k$, puis vérifier que son produit par $(1-X{)}^2$ est bien égal à $1$. Modèle:Solution Retrouver ce résultat par dérivation formelle. Modèle:Solution

Exercice 1-2

Soit la suite $(a_n{)}_{n\ge 0}$ définie par $a_0=a_1=1$ et $\mathrm{\forall }n\ge 2,a_n=2a_{n-1}-a_{n-2}+2^{n-2}$.

1. On pose $A(X)=\sum _{n\ge 0}{a}_n{X}^n$. Montrer que $A(X)=1-X+(2X-X^2)A(X)+\frac{X^2}{1-2X}$.
2. Montrer que $A(X)=\frac{1}{1-2X}+\frac{1}{1-X}-\frac{1}{(1-X{)}^2}$.
3. En utilisant l'exercice précédent, en déduire une expression explicite de $a_n$.
4. La vérifier par récurrence.

Exercice 1-3

Reprendre la méthode précédente pour déterminer l’expression explicite du terme général de la suite $(g_n{)}_{n\ge 0}$ définie par $g_0=g_1=1$ et $\mathrm{\forall }n\ge 2g_n=g_{n-1}+2g_{n-2}+(-1{)}^n$. Modèle:Solution

Exercice 1-4

Modèle:Wikipédia I) Pour tout entier $n>0$, on pose :

$S_n(X):=\sum _{j\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+j-1}{j})X^j$.

Démontrer par récurrence, de deux façons, que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\frac{1}{(1-X{)}^n}=S_n(X)$ :

1. en utilisant que $\frac{1}{(1-X{)}^n}+\frac{X}{(1-X{)}^{n+1}}=\frac{1}{(1-X{)}^{n+1}}$ ;
2. en utilisant que $\left(\frac{1}{(1-X{)}^n}\right)=\frac{n}{(1-X{)}^{n+1}}$.

Retrouver ce résultat directement, en utilisant que la dérivée $m$-ième de $\frac{1}{1-X}$ est $\frac{m!}{(1-X{)}^{m+1}}$.

II) On considère la suite des polynômes de Tchebychev de seconde espèce,

$U_n(X)=\sum _{0\le k\le n/2}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(2X{)}^{n-2k}$

(cf. Sommation/Exercices/Formule du binôme#Exercice 5-11). À l'aide de la question I, montrer que sa série génératrice,

$\sum _{n\ge 0}{T}^n{U}_n(X)$, est égale à $\frac{1}{1-2TX+T^2}$.

III) Pour tous entiers naturels m, n, en développant de deux façons $S_{n+1}(X)S_{m+1}(X)$, déduire de la question I que pour tout entier r ≥ m + n,

$\sum _{j=n}^{r-m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{n})(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-j}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{m+n+1})$.

Modèle:Solution Modèle:Solution Modèle:Solution Pour une preuve combinatoire du III, voir la question II de Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées#Exercice 7-1.

Exercice 1-5

Modèle:Wikipédia Cet exercice constitue la démonstration par Euler (en 1773) de la formule du binôme généralisée, dans le cas d'un exposant rationnel.

On définit (pour tout $r\in ℝ$) les coefficients binomiaux généralisés :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n})=\frac{r(r-1)(r-2)\dots (r-n+1)}{n!}$,

puis la série formelle

$T_r(X):=\sum _{n\in \mathbb{N}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{n})X^n$.

Pour tous réels $r,s$ (et tout $n\in \mathbb{N}$), on note $P_n(r,s)$ le $n$-ième coefficient de la série formelle produit $T_r(X)T_s(X)$ :

$T_r(X)T_s(X)=\sum _{n\in \mathbb{N}}{P}_n(r,s)X^n$.

1. Vérifier que si $r,s\in \mathbb{N}$ alors $P_n(r,s)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s}{n})$.
2. Démontrer que $P_n(r,s)$ est un polynôme en $r$ et $s$ (à coefficients rationnels).
3. Déduire des deux questions précédentes que $\mathrm{\forall }r,s\in ℝP_n(r,s)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s}{n})$ (pour tout $n\in \mathbb{N}$), donc $T_r(X)T_s(X)=T_{r+s}(X)$.
4. En déduire que $\mathrm{\forall }p\in \mathbb{Z}\mathrm{\forall }q\in {\mathbb{N}}^{*}{(T_{\frac{p}{q}}(X))}^q={(1+X)}^p$, en commençant par traiter le cas $p\in \mathbb{N}$.

Remarque

Si $r\notin \mathbb{N}$, d'après le critère de D'Alembert, le rayon de convergence de la série entière associée à $T_r$ est égal à $1$.

Références

• Modèle:Ouvrage ;
• Modèle:Article (E465, présenté à l'Académie de Saint-Pétersbourg le Modèle:Inscription date).

Cette preuve est moins bien expliquée sur xymaths.free.fr, et carrément comprise de travers par Modèle:Article.