Série entière/Définition formelle - rayon de convergence

Définition des séries entières

Par la suite, on notera abusivement $\sum a_n{z}^n$ la série de fonctions précédente, en distinguant le cas d'une variable réelle par $\sum a_n{x}^n$ et celui d'une variable complexe par $\sum a_n{z}^n$.

Modèle:Exemple Conclusions

• Un des problèmes majeurs vient de la convergence ou de la divergence de la série entière.
• On constate au travers de ces exemples que les séries étudiées convergent sur un disque ouvert de centre 0 et de rayon dans ${\overline{ℝ}}_{+}={ℝ}_{+}\cup \{+\mathrm{\infty }\}$.

Remarque Si $(a_n)$ est définie à partir d'un certain rang $n_0$, la série $\sum _{n\ge n_0}{a}_n{X}^n$ est toujours considérée comme une série entière en complétant $(a_n)$ par des zéros.

Lemme d'Abel et rayon de convergence

Le lemme d'Abel est fondamental dans l'étude des séries entières.

Modèle:Définition La borne supérieure est bien définie sur un ensemble non vide, car 0 en est élément.