Sommation/Exercices/Sommations plus compliquées

Exercice 7-1

Soit n ∈ ℕ.

I) Montrer que :

$\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{m+n+1})=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{k})=2^{2n}$.

II) Soient m et r deux entiers naturels tels que $m\le r-n$.

Pour tout entier i tel que $m\le i\le r-n$, soit $A_i$ l'ensemble des parties de $\{1,2,\dots ,r+1\}$ à m + n + 1 éléments dont le (m + 1)-ième (par ordre croissant) est égal à i + 1.

a) Quel est le cardinal de $A_i$ ?

b) En déduire :

$\sum _{i=m}^{r-n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{m})(\genfrac{}{}{0ex}{}{r-i}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+1}{m+n+1})$.

III) En déduire :

$\sum _{k=n}^{2n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})\frac{1}{2^k}=1$.

Modèle:Solution Pour une autre preuve du II.b, voir Fonction génératrice/Exercices/Série génératrice d'une suite#Exercice 1-4.

Exercice 7-2

Calculer :

$S:=\sum _{i}E\left(\frac{i}{2}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})X^i$.

Exercice 7-3

a) Démontrer que pour tout polynôme $P$ de degré strictement inférieur à n, $\sum _k(-1{)}^{k}P(k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=0$.

b) Soit $n>2$. On rappelle (exercice 6-1) que $\sum _k{k}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n(n+1)2^{n-2}$. En déduire

$\sum _j{j}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j})$.