Théorie physique des distributions/Exercices/Produit de convolution

Exercice 4-1

On appelle fonction porte, la fonction Π définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\Pi }(x)=\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{s}\mathrm{i}& x<-\frac{1}{2}\\ 1& \mathrm{s}\mathrm{i}& -\frac{1}{2}⩽x<\frac{1}{2}\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}& \frac{1}{2}⩽x\end{array}$

Calculer le produit de convolution de la fonction porte par elle-même.

Exercice 4-2

S étant une distribution fixée, à support positif (S ∈ ${{𝒟}_{+}}^{\prime }$), on considérera l’application de ${{𝒟}_{+}}^{\prime }$ dans ${{𝒟}_{+}}^{\prime }$ qui, à toute distribution E de ${{𝒟}_{+}}^{\prime }$, associe la distribution R définie par :

$R=S\star E$

a - Déterminer S sachant que, si E est la fonction de Heaviside H, alors R est la distribution régulière associée à la fonction u_α définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\forall }\alpha \in {ℝ}_{*}^{+}{u}_{\alpha }(x)=\alpha H(x).e^{-\alpha x}$

Il apparaît que S dépend de α; on écrira donc désormais S_α au lieu de S.

b - Pour E ∈ ${{𝒟}_{+}}^{\prime }$, montrer que :

$\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }((S_{\alpha }\star E)-E^{\prime })$

est une distribution indépendante de E.

Modèle:Solution

Exercice 4-3

a - Montrer que si la dérivée n^ième d'une distribution T est nulle, alors T est une distribution régulière associé à une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à n - 1.

b - En déduire que le produit de convolution d'une distribution à support compact par un polynôme de degré n, est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.

c - En utilisant l'exercice 2-2, en déduire que toute distribution à support compact est limite d'au moins une suite de polynômes.

Exercice 4-4

Pour les calculs suivants, on pourra utiliser l'exercice 2-3 :

a - Calculer :

$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{\sin (\lambda (x-u))}{x-u}{e}^{-\frac{1}{1-u^2}}\mathrm{d}u$

b - Calculer :

$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{\sin (\lambda (x-u))}{x-u}\mathrm{d}u$

Exercice 4-5

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues par morceaux sur $ℝ$. On suppose que $f$ est bornée et que l'intégrale impropre $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}|g(t)|\mathrm{d}t$ converge.

1. Montrer que $f\ast g$ est bien définie sur $ℝ$, c'est-à-dire que pour tout $x\in ℝ$, l'intégrale $f\ast g\left(x\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x-t)g(t)\mathrm{d}t$ converge.
2. Montrer que si $f$ est CModèle:Exp et si ses dérivées successives sont bornées, alors $f\ast g$ est au moins CModèle:Exp.
3. Dans le cas où $f=$ la fonction indicatrice d'un segment $[a,b]$ (fonction porte) et $g(t)=\max (1-|t|,0)$ (fonction triangulaire), calculer et tracer $f\ast g$.
4. On suppose $f$ continue et l'on considère une suite de fonctions positives $g_n$ telles que
   $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{g}_n(t)\mathrm{d}t=1\text{et}\mathrm{\forall }r>0\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{|t|\ge r}{\int }{g}_n(t)\mathrm{d}t=0$.
   Montrer que la suite de fonctions $(f\ast g_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment $[-M,M]$.
5. Soit $g$ une fonction positive d'intégrale $1$. On considère la suite de fonctions $g_n(t)=ng(nt)$. Montrer que les hypothèses de la question précédente sont vérifiées.