Sommation/Exercices/Formule du binôme

Exercice 5-1

Soient $n,p\in \mathbb{N}$.

1. Démontrer la formule des lignes :

   $\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=2^n$.

2. En déduire la formule :

   $\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{p-k})=2^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})$.

Une autre méthode est proposée dans l'exercice 5-5 Modèle:Infra. Pour une preuve moins calculatoire, voir l'[[../Calculs élémentaires#Exercice 2-8|exercice 2-8]] ou Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-1.

Remarque : la formule de la question 2 donne en particulier :

• pour $p=n-1$ : $\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n{2}^{n-1}$ ;
• pour $p=n-2$ : $\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n(n-1)2^{n-2}$ ;
• pour $p=n-3$ : $\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(k-2)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=n(n-1)(n-2)2^{n-3}$.

Exercice 5-2

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Calculer :

$a)\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})b)\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

En déduire :

$c)\sum _{0\le j\le n/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j})d)\sum _{0\le j\le (n-1)/2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j+1})$.

Exercice 5-3

Calculer la somme suivante :

$\sum _{p=0}^n{Y}^p\sum _{k=p}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{p})X^k$.

Exercice 5-4

Soient $m,n,r\in \mathbb{N}$ tels que $r\le m+n$. En vous basant sur l'identité polynomiale :

$(1+X{)}^{m+n}=(1+X{)}^m(1+X{)}^n$,

redémontrez la formule de Vandermonde (chap. 1) :

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{r})=\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r-k})$,

dans laquelle l'indice k varie a priori dans $\mathbb{Z}$, mais le terme correspondant de la somme n'est non nul que si $\max (0,r-m)\le k\le \min (n,r)$. Modèle:Solution

Exercice 5-5

En développant le polynôme $(1+X+X{)}^n$ de deux façons différentes, redémontrer la formule Modèle:Supra :

$\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{p-k})=2^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})$.

Exercice 5-6

En utilisant la formule du binôme, ses dérivées ou ses primitives, calculer :

$a)\sum _{k=0}^{n}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})b)\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})c)\sum _{k=0}^n\frac{1}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})d)\sum _{k=0}^n(-1{)}^{k}k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})e)\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

Pour une autre méthode pour les questions a), c), d) et e), voir Combinatoire/Exercices/Combinaisons#Exercice 4-2.

Pour une généralisation des résultats a) et b), voir l'exercice 5-1 ci-dessus.

Exercice 5-7

En développant de deux façons le polynôme ${(X^2-1)}^n$, prouver que pour tout entier $k\in [0,2n]$,

$\sum _i(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-i})=\{\begin{array}{cc}0& \text{si }k\text{ est impair}\\ (-1{)}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})& \text{si }k=2r\end{array}$

et en déduire que pour tout $r\in \mathbb{N}$,

$(-1{)}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{r})=\sum _{i=0}^{2r}(-1{)}^i{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2r}{i})}^2$.

Exercice 5-8

Pour tout entier $n\ge 1$ :

a) démontrer l'identité polynomiale :

$\sum _{k=0}^{n-1}(1-X{)}^k=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(-X{)}^{k-1}$ ;

b) en déduire :

$\sum _{k=1}^n\frac{1-(1-X{)}^k}{k}=-\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-X{)}^k}{k}$ ;

c) retrouver ainsi le résultat de l'exercice 2-9 :

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$.

Exercice 5-9

En développant, grâce à la formule du binôme, le polynôme $(a+X{)}^n$ (où $a$ est une constante et $X$ une variable) et en dérivant les deux membres de l'égalité ainsi obtenue, montrer que la formule du binôme est invariante par dérivation. En déduire qu'elle est aussi invariante par intégration. Que peut-on en conclure ?

Exercice 5-10

Calculer :

$\sum _{k=0}^{n}k{X}^{k-1}\sum _{p=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-p}{n-k})Y^p$.

Exercice 5-11

1. En s'inspirant de « Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie#Formules de dé-linéarisation », construire, pour tout entier naturel $n$, deux polynômes en deux variables, $C_n$ et $S_n$, tels que (pour tout réel $\theta$) :

   $\cos n\theta =C_n(\cos \theta ,\sin \theta )$ et $\sin n\theta =S_n(\cos \theta ,\sin \theta )$,

2. En déduire deux suites de polynômes en une variable, uniques et traditionnellement notés $T_n$ et $U_n$, tels que

   $\cos n\theta =T_n(\cos \theta )$ et $\sin ((n+1)\theta )=U_n(\cos \theta )\times \sin \theta$.

   Quel est leur degré ? Quels sont les polynômes $T_0$, $T_1$ et $U_0$ ?

3. Redémontrer par une récurrence d'ordre 2 l'existence d'un polynôme $T_n$ tel que $\cos n\theta =T_n(\cos \theta )$, en calculant $\cos ((n-1)\theta )+\cos ((n+1)\theta )$.
4. Calculer $C_2$, $S_2$, $T_2$ et $U_1$.
5. Calculer $C_6$, $S_6$, $T_6$ et $U_5$.
6. Déduire de la question 1 l'expression de $\tan n\theta$ comme fraction rationnelle en $\tan \theta$. Explicitez le résultat pour $2\le n\le 5$.
7. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{U}_{n+1}(X)=2X{U}_n(X)-U_{n-1}(X)$ et en déduire que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{U}_n(X)=\sum _{0\le k\le n/2}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})(2X{)}^{n-2k}$.
8. Trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients non constants (dépendant de $n$) vérifiée par $T_n$.

Exercice 5-12

Soit $p\in \mathbb{N}$. Montrer que $\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\forall }n\ge \frac{p}{2}\sum _{q=0}^{2n-1}{\cos }^{2p}(x+\frac{q\pi }{2n})=2n\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})}{2^{2p}}$. Modèle:Solution