Sommation/Exercices/Calculs élémentaires

Exercice 2-1

1. Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est n².
2. Soit $x$ un nombre semi-premier impair (c'est-à-dire produit de deux nombres premiers impairs). De combien de façons peut-on écrire $x$ comme somme d'entiers positifs impairs consécutifs ?

Exercice 2-2

Montrer que $\sum _{k=1}^n{(-1)}^k(2k-1)={(-1)}^{n}n$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Calculer :

$\sum _{k=0}^n(4k^3-6k^2+4k-1)$.

Exercice 2-4

Calculer par télescopage :

$a)\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})b)\sum _{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}c)\sum _{k=0}^n\frac{k}{(k+1)!}d)\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.

1. Montrer pour tout entier $n>0$,

   $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\frac{1}{2\sqrt{n}}<\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.

2. En déduire la partie entière de $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{10000}})$

Exercice 2-5

Démontrer que :

$\sum _{k=0}^n\frac{2^k}{x^{2^k}+1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}$.

Exercice 2-6

À l'aide de la formule connue $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$, on va retrouver celles qui donnent $\sum _{k=1}^n{k}^2$ puis $\sum _{k=1}^n{k}^3$ (cf. chapitre 1, sommation par télescopage).

L'exercice 3-6 présente la même méthode de façon plus efficace.

Question 1.

(a) Recopiez en complétant chaque ligne sur le modèle des deux premières :

$\begin{array}{ccccccccc}(n+1{)}^3& -& n^3& =& 3n^2& +& 3n& +& 1\\ n^3& -& (n-1{)}^3& =& 3(\cdots {)}^2& +& 3(\cdots )& +& 1\\ (n-1{)}^3& -& (n-2{)}^3& =& \cdots & +& \cdots & +& \cdots \\ ⋮& -& ⋮& =& ⋮& +& ⋮& +& ⋮\\ 2^3& -& 1^3& =& \cdots & +& \cdots & +& \cdots \\ 1^3& -& 0^3& =& \cdots & +& \cdots & +& \cdots \end{array}$

(b) Sommez ces égalités par colonnes.

(c) Isolez $\sum _{k=1}^n{k}^2$ pour conclure.

Question 2. Calculer $\sum _{k=1}^n{k}^3$ avec la même méthode.

Question 3. Montrer que $1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3=(1+2+3+\cdots +n{)}^2$.

Autre méthode.

1. $Q(X)\in ℝ[X]$ étant donné, montrer qu'il existe un unique $P(X)\in ℝ[X]$ vérifiant $P(X)-P(X-1)=Q(X)$ et $P(0)=0$.
2. On prend $Q(X)=X^m$. Soit alors $P_m$ le polynôme $P$ de la question précédente. Montrer que pour tout $k\in \mathbb{N}$ on a : $P_m(k)=1^m+2^m+\dots +k^m$.
3. Montrer que (pour $m\ge 1$) $P{\text{'}}_m(X)=m{P}_{m-1}(X)+P{\text{'}}_m(0)$.
4. Calculer $P_1,P_2,P_3$.

Exercice 2-7

Calculer de deux façons différentes :

$1\times 2+2\times 3+3\times 4+\cdots +(n-1)\times n$.

Exercice 2-8

Soient n et p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n et E, un ensemble à n éléments. Soit F l’ensemble des couples (A, B) de sous-ensembles de E disjoints et dont l'union a pour cardinal p.

En dénombrant de deux façons différentes le nombre d'éléments de F, établir la formule :

$\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{p-k})=2^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p})$

Voir aussi l'[[../Formule du binôme#Exercice 5-1|exercice 5-1]].

Exercice 2-9

Montrer par récurrence que :

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$

Exercice 2-10

En utilisant un encadrement, calculer :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}E(kx)$

($E$ étant la fonction partie entière).

Exercice 2-11

1. En admettant (cf. [[../Sommation de combinaisons#Exercice 6-3|Exercice 6-3]]) que

   $\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N}\sum _{k\le m}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{n+1})$,

   démontrer les formules :

   $(F_{n,m})\sum _{k\le m}{A}_k^n=\frac{1}{n+1}{A}_{m+1}^{n+1}$,

   où par définition (cf. Combinatoire/Arrangements sans répétition), $A_n^k=n(n-1)(n-2)\dots (n-k+2)(n-k+1)$ (pour $k\in \mathbb{N}$).

2. On pose $S_j(m)=\sum _{k=1}^m{k}^j$. Utiliser les formules $(F_{1,m})$, $(F_{2,m})$ et $(F_{3,m})$ pour retrouver $S_1(m)$, $S_2(m)$ et $S_3(m)$ Modèle:Supra.
3. Calculer de même $S_4(m)$

Exercice 2-12

Calculer $\sum _{\stackrel{(i,j)\in {\mathbb{N}}^2}{i+j=n}}ij$. Modèle:Solution

Exercice 2-13

Soit $n\in \mathbb{N}$.

1. Calculer $\sum _{k=0}^n{X}^k,\sum _{k=0}^{n}k{X}^{k-1},\sum _{k=0}^{n}k(k-1)X^{k-2},\sum _{k=0}^{n}k(k-1)(k-2)X^{k-3}$.
2. Déterminer $a,b,c$ tels que $2X^2+3X+3=a(X-1)(X-2)+b(X-1)+c$.
3. En déduire la valeur de $S=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\sum _{i=1}^{2k+1}(k^2+i)$.
4. Retrouver cette valeur par télescopage.