Suites et séries de fonctions/Exercices/Séries de fonctions

Exercice 2-1

Soit $D$ un ensemble au plus dénombrable de réels. Construire une fonction croissante $f:ℝ\to ℝ$ dont l'ensemble des points de discontinuité est exactement $D$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Étudier la convergence uniforme de la série de terme général $f_n(x)=\arctan \frac{x}{n^2+x^2}$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Modèle:Wikipédia On rappelle que $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x\ln x{)}^k\mathrm{d}x=\frac{(-1{)}^{k}k!}{(k+1{)}^{k+1}}$ (voir par exemple cet exercice, ou le début de ce devoir).

En déduire que :

1. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}$ ;
2. $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^x\mathrm{d}x=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}$.