Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 2

Exercice 18-1

Pour $a,n\in \mathbb{N}$, on pose :

$I(a,n)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^n(1-x{)}^a\mathrm{d}x$.

1°  En intégrant par parties, montrer que :

$I(a+1,n)=\frac{a+1}{n+1}I(a,n+1)$.

2°  Établir que :

$I(a,n)-I(a,n+1)=I(a+1,n)$.

En déduire que :

$I(a,n+1)=\frac{n+1}{n+a+2}I(a,n)$.

3°  L'entier $a$ étant fixé, démontrer par récurrence sur $n$ :

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}I(a,n)=\frac{1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1)\times n}{(a+1)\times (a+2)\times \cdots \times (a+n+1)}$.

Exercice 18-2

1°  Soient $p\in {\mathbb{Q}}_{+}$ et $q\in \mathbb{Q}$. Pour $x\in [0,1[$, on pose :

$f_{p,q}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^p(1-t{)}^q\mathrm{d}t$.

Justifier cette notation.

Déterminer la fonction dérivée de $f_{p,q}$.

En se limitant à $p⩾1$, montrer qu'il existe un triplet $(a,b,c)\in {ℝ}^3$, dépendant du couple $(p,q)$, tel que

$\mathrm{\forall }x\in [0,1[a{f}_{p,q}(x)+b{f}_{p-1,q-1}(x)=x^p(1-x{)}^q(cx-q)$.

On distinguera les cas $q=0$ et $q\ne 0$. Dans le second cas, on montrera qu'il existe une solution et une seule, à savoir :

$\{\begin{array}{c}a=(p+q)(1+p+q)\\ b=-pq\\ c=p+q.\end{array}$

2°  Pour $x\in [0,1[$ et $r\in {\mathbb{Q}}_{+}$, donner une expression de :

$F_r(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{t^r}{(1-t{)}^{r+3}}\mathrm{d}t$

dans laquelle n'intervient aucun signe d'intégration.

(On mettra la fonction $F_r$ sous la forme $f_{p-1,q-1}$.)

Exercice 18-3

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $F_n$ définie par :

$F_n(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n}t\mathrm{d}t$.

1°  Prouver que $F_n$ est croissante et majorée par $1$.

2°  Soit :

$I_n=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(x)(=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t}{\sin }^{2n}t\mathrm{d}t)$.

Prouver que :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}{I}_n=2n((2n-1)I_{n-1}-2n{I}_n)$.

3°  En déduire $I_n$ en fonction de $n$.

4°  Étudier la limite de la suite $\left(I_n\right)$. Modèle:Solution

Exercice 18-4

Pour tout entier $n>0$, on considère $I_n$, définie par :

$I_n=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^n)\sqrt[n]{1+x^n}}$.

1°  Calculer $I_1$ et $I_2$.

2°  Calculer $I_n$ en intégrant par parties :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt[n]{1+x^n}}$.

3°  Étudier la limite en $+\mathrm{\infty }$ de la suite $\left(I_n\right)$. Modèle:Solution

Exercice 18-5

On pose, pour $h$ et $k$ entiers naturels :

$H_{h,k}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^h{\ln }^{k}x\mathrm{d}x$.

1°  Calculer $H_{h,0}$.

2°  Justifier l'existence de $H_{h,k}$ si $h>0$ (le cas $h=0$ et $k>0$ est plus délicat mais sera justifié dans la suite de l'exercice).

3°   Prouver que si $k>0$ :

$H_{h,k}=-\frac{k}{h+1}{H}_{h,k-1}$.

4°   En déduire $H_{h,k}$. Modèle:Solution

Exercice 18-6

Soit $f:ℝ\to ℝ$ la fonction définie par :

$f(x)=x{\mathrm{e}}^x$.

1°  Calculer les dérivées première et seconde de $f$ et en déduire, par récurrence, la dérivée d'ordre $n$.

2°  Étudier les variations de la fonction $f_n$ définie par :

$f_n(x)=(x+n){\mathrm{e}}^x$

où $n$ est un entier relatif. Tracer les courbes représentatives $C_{-1}$, $C_0$ et $C_1$ des fonctions $f_{-1}$, $f_0$ et $f_1$.

3°  On pose :

$I_n(h)=\underset{-n}{\overset{-n+h}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x$.

Calculer $I_n(h)$ en fonction de $h$ et $n$, et établir la relation :

$I_n(h)={\mathrm{e}}^{-n}{I}_0(h)$.

Exercice 18-7

Soit $n$ un entier naturel. Pour tout entier naturel $k⩽n$, on pose :

$I_{k,n}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}\mathrm{d}x$.

Pour $0⩽k<n$, comparer $I_{k,n}$ et $I_{k+1,n}$.

En déduire $I_{k,n}$ en fonction de $n$.