Étude de fonctions/Fonction dérivée

Dérivées successives

Ceci permet de définir par récurrence les dérivées successives de $f$ et sa classe de régularité (voir le § « Classes de régularité et dérivées d'ordre supérieur » du chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle) mais à notre niveau, seule la définition suivante sera parfois utile :

Avec la notation différentielle, on écrit $f^{\prime }=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ et $f^{\prime \prime }=\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2}$.

Opérations et dérivées

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$

Opération	Dérivée
Somme	$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
Produit	$(u\times v{)}^{\prime }=u^{\prime }\times v+v^{\prime }\times u$
Produit par un réel	$(k\times u{)}^{\prime }=k\times u^{\prime }$
Carré d'une fonction	${\left(u^2\right)}^{\prime }=2u^{\prime }u$
Cube d'une fonction	${\left(u^3\right)}^{\prime }=3u^{\prime }{u}^2$
Inverse $u(x)\ne 0$ $\mathrm{\forall }x\in I$	${\left(\frac{1}{u}\right)}^{\prime }=\frac{-u^{\prime }}{u^2}$
Quotient $v(x)\ne 0$ $\mathrm{\forall }x\in I$	${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}$

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de $ℝ$ où elles sont définies

Dérivées d'une composée et d'une réciproque

Les deux théorèmes suivants (entre autres) sont démontrés dans le chapitre « Dérivabilité » de la leçon sur les fonctions d'une variable réelle (de niveau 14). Pour d'autres compléments, voir d'abord la leçon « Fonction dérivée », de niveau 12 comme la présente leçon.

Sens de variation (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$.

• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)\ge 0$ alors $f$ est croissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)\le 0$ alors $f$ est décroissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si pour tout $x\in I$ on a $f^{\prime }(x)<0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Extremum local (théorème)

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $ℝ$ et $x_0$ un nombre de $I$. Si $f$ admet un extremum local en $x_0$ alors $f^{\prime }(x_0)=0$.

Tableau des dérivés

	$(ax+b{)}^{\prime }=a$
	$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$
	$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+v^{\prime }u$
	$(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$
	$(u\circ v{)}^{\prime }=(u^{\prime }\circ v)\times v^{\prime }$
$u>0$	$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$
Soit $n>1$ ​Soit $u\ne 0$ et $n\in \mathbb{Z}$ ​Soit $u>0$ et $n\in \mathbb{Q}$	${\left(u^n\right)}^{\prime }=n{u}^{\prime }{u}^{n-1}$
$\mathrm{\forall }\frac{-\pi }{2}<x+k\pi <\frac{\pi }{2}$ avec $k\in \mathbb{Z}$	$(\tan x{)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$