Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3

Nombres algébriques et polynômes minimaux sur $\mathbb{Q}$

Modèle:Définition Un nombre est donc :

• algébrique de degré $1$ si et seulement s'il est rationnel ;
• algébrique de degré $3$ si et seulement s'il est racine d'un polynôme de degré $3$ à coefficients rationnels qui n'a pas de racine rationnelle.

Changement de variable homographique

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Plus précisément : si $P$ est le polynôme minimal de $x$ alors celui de $y$ est :

• si $c=0$ : $Q(X)={\left(\frac{a}{d}\right)}^{n}P\left(\frac{dX-b}{a}\right)$ ;
• sinon : $Q(X)=\frac{(X-a/c{)}^n}{P(-d/c)}P\left(\frac{b-dX}{cX-a}\right)$.

Les discriminants de ces deux polynômes sont donc liés par :

• si $c=0$ : ${\mathrm{\Delta }}_Q={\left(\frac{a}{d}\right)}^{n(n-1)}{\mathrm{\Delta }}_P$ ;
• sinon : ${\mathrm{\Delta }}_Q={\left(\frac{ad-bc}{c^2}\right)}^{n(n-1)}\frac{{\mathrm{\Delta }}_P}{P(-d/c{)}^{n-1}}$.