Vecteurs et droites du plan/Exercices/Vecteurs

Exercice n^o 1

Soit $ABCD$ un parallélogramme.

1. Construire les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que : $\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CG}=3\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{DH}=3\overrightarrow{DA}$.
2. Recopier et compléter l'égalité suivante en utilisant la relation de Chasles : $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\dots +\overrightarrow{BF}$. En déduire l'expression du vecteur $\overrightarrow{EF}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$.
3. Donner une expression du vecteur $\overrightarrow{HG}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}$.
4. Montrer que : $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$. Que pouvez-vous en conclure ?

Exercice n^o 2

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$, on considère les points : $A(2;1)$, $B(5;3)$, $C(3;-3)$ et $D(6;-1)$.

1. Démontrer que $ABDC$ est un parallélogramme.
2. Soit $E$ le symétrique de $D$ par rapport à $B$. Calculer les coordonnées du point $E$.
3. Quelle est la nature du quadrilatère $ACBE$ ? Justifier votre réponse.

Exercice n^o 3

Soit $ABCD$ un rectangle. On note $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $B$ et $F$ le symétrique de $A$ par rapport à $D$.

Le point $G$ est tel que : $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

1. On se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans ce repère (aucune justification nécessaire).
2. Calculer les coordonnées de $E$, $F$ et $G$.
3. Les points $E$, $F$ et $G$ sont-ils alignés ? Justifier la réponse.

Exercice n^o 4

$ABC$ est un triangle. On note $M$, $N$ et $P$ les points tels que : $\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

1. Exprimer $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{NP}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
2. Démontrer que les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés.

Exercice n^o 5

On donne les points $M(-3;0)$ et $N(2;1)$ deux points d'un repère $(O;I;J)$. La droite $(MN)$ coupe l'axe des ordonnées $OJ$ en $P$.

1. Calculer l'ordonnée $y_P$ du point $P$.
2. Trouvez le nombre $\lambda$ tel que $\overrightarrow{MP}=\lambda \overrightarrow{MN}$.