Vecteurs et droites du plan/Colinéarité

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs.

S'il existe un réel $k$ non nul tel que $\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}$, alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Propriété

Soit $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ un repère et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \end{array}\right)$ deux vecteurs de ce repère.

Si les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont proportionnelles, c'est-à-dire si $\frac{x}{y}=\frac{x\prime }{y\prime }$, alors $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Autrement dit, si $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}x\prime \\ y\prime \end{array}\right)$ sont colinéaires, alors $xy\prime -x\prime y=0$ et vice versa.

Exemples

Exemple n^o 1

Montrer que $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1-\sqrt{2}\\ 1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1+\sqrt{2}\end{array}\right)$ sont colinéaires.

Solution

$(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})-1\times (-1)$

$1^2-(\sqrt{2}{)}^2+1$

$1-2+1=0$

Donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

Exemple n^o 2

Déterminer le(s) réel(s) $k$ tel(s) que les vecteurs $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}k\\ -1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4\\ k+4\end{array}\right)$ sont colinéaires.

Solution

$\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}k\\ -1\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}4\\ k+4\end{array}\right)$ sont colinéaires, donc :

$k(k+4)-(-1\times 4)=0$

$k^2+4k+4=0$

$(k+2{)}^2=0$

$k+2=0$

$k=-2$

Application

Propriété

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.

Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, alors $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan.

Si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

Exemple

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$, on donne $A(2;1)$, $B(9;4)$, $C(-3;0)$ et $D(11;6)$. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un trapèze.

Solution

$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}9-2\\ 4-1\end{array}\right)$

$\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$

et

$\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}11-(-3)\\ 6-0\end{array}\right)$

$\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c}14\\ 6\end{array}\right)$

$7\times 6-3\times 14$

$42-42=0$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.