Variables aléatoires continues/Exercices/Loi gamma

Modèle:Exercice Modèle:Wikipédia 1. Soient $X_1,X_2,\dots ,X_n$, n variables aléatoires indépendantes suivant toutes une même loi exponentielle $ℰ(\lambda )$. Montrez que la fonction de densité de la variable $S_n=X_1+X_2+\dots +X_n$ est $f_{S_n}(t)=\frac{{\lambda }^n}{(n-1)!}{t}^{n-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{1}_{{ℝ}_{+}}(t)$.

Rappel : Si X admet comme fonction de densité $f_X$ et Y admet comme fonction de densité $f_Y$, avec X et Y indépendantes, la fonction de densité de X+Y est le produit de convolution

$\{f_X\star f_Y\}(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(u)f_Y(t-u)\mathrm{d}u$.

2. Plus généralement, on pose pour $a>0$, $\mathrm{\Gamma }(a)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{a-1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x$, la fonction Gamma d'Euler. On note alors $f_a(t)=\frac{{\lambda }^a}{\mathrm{\Gamma }(a)}{t}^{a-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda t}{\mathrm{𝟏}}_{{ℝ}_{+}}(t)$. Vérifiez qu'elle a les propriétés d'une fonction de densité. On appelle la loi associée, la loi Gamma de paramètres $a$ et $\lambda$.