Variables aléatoires sur les ensembles finis/Espérance et variance d'une variable aléatoire

Notation

Pour simplifier l'exposé des formules, nous utiliserons la notation $\sum$ pour signifier la somme sur toutes les valeurs prises par une variable aléatoire (v.a).

Par exemple : $x_1+x_2+x_3+\dots +x_n=\sum _{i=1}^n{x}_i$

Espérance d'une variable aléatoire

L'espérance de X représente ce que X vaut en moyenne, si on recommence l'expérience un grand nombre de fois. Cette remarque est justifiée par le fait que les fréquences des $x_i$ tendront alors vers les $p_i$ et que le calcul de E(X) est alors exactement celui d'une moyenne avec fréquences (voir Initiation à la statistique).

Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats. La loi de probabilité de X s'écrit :

$x_i$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$p_i$	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36

On calcule alors $E(X)=2\times \frac{1}{36}+3\times \frac{2}{36}+\dots +12\times \frac{1}{36}=7$.

Ce résultat signifie que si on répète cette expérience un grand nombre de fois, la somme des deux dés est en moyenne de 7.

Variance d'une variable aléatoire

La variance de X représente la moyenne des carrés des écarts à l'espérance de X.

Elle mesure la tendance de X à la dispersion autour de son espérance,

de manière similaire à la variance d'une série statistique.

Exemple

Reprenons l'exemple du lancer de deux dés, où X représente la somme des deux résultats.

On calcule alors $V(X)=\frac{1}{36}\times (2-7{)}^2+\frac{2}{36}\times (3-7{)}^2+\dots +\frac{1}{36}(12-7{)}^2=5,833$

Formule

La formule de la variance ci-dessus est utile pour comprendre la signification de ce nombre,

mais la formule suivante est plus intéressante pour le calcul effectif :

Exemple

Calculer la variance de X dans l'exemple de la somme des résultats du lancer de deux dés.

Écart-type

L'écart-type mesure également la tendance à la dispersion de la v.a, et ce dans les mêmes unités que celle des $x_i$ (si les $x_i$ sont des euros, $\sigma$ est en euros). On pourrait alors se demander quel est l’intérêt de la variance, puisqu'elle n’est pas exprimée dans la même unité que les $x_i$ ... Une réponse à cette question est que la variance est beaucoup plus facile à manier dans les exposés théoriques grâce à l'absence de racine carrée.

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