Variables aléatoires discrètes/Exercices/Calcul d'une espérance autour de la loi binomiale

Énoncé

On joue à Pile ou Face avec une pièce de monnaie. Dans une première partie on ne connait pas la probabilité de l'évènement Pile, ni celle de Face. On cherche à évaluer la distance entre le nombre de pile et de face obtenus après N lancers. Bien entendu les lancers sont indépendants les uns des autres.

Le problème peut être reformulé comme ceci :

Si X est le nombre de Pile obtenus et Y le nombre de Face obtenus, quelle est la valeur de $𝔼(|X-Y|)$ ?

Notations

On note :

• $\lfloor x\rfloor$ la partie entière de $x$ ;
• $A^c$ l’ensemble complémentaire de $A$ ;
• $X\sim ℬ(N,p)$ si X suit une loi binomiale de paramètre $(N,p)$.

Soit $X\sim ℬ(N,p)$. Pour x un entier naturel compris entre 0 et N, on notera la fonction de répartition $F_N(x)=\sum _{i=0}^x\mathbb{P}(X=i)$ et sa fonction complémentaire : ${\mathrm{\Phi }}_N(x)=1-F_N(x)=\sum _{i=x+1}^N\mathbb{P}(X=i)$.

Questions

Quelle est la loi de X ? Rappeler son espérance. Modèle:Solution X et Y sont elles indépendantes ? Sinon, quelle loi les lie ? Modèle:Solution En remarquant que $|x-y|=(x-y)1_{x>y}+(y-x)1_{x\le y}$, trouver une expression de $𝔼(|X-Y|)$ en fonction de $N$, $p$, $\mathbb{P}(A)$ et $𝔼(X{1}_A)$, où l'événement $A$ est à expliciter et $1_A$ désigne sa fonction indicatrice. Modèle:Solution Exprimer $𝔼(X{1}_A)$ en fonction de $N$, $p$ et ${\mathrm{\Phi }}_{N-1}(a_N-1)$ pour un certain entier $a_N$ à expliciter. Modèle:Solution Conclusion

En remarquant que $\mathbb{P}(A)={\mathrm{\Phi }}_N(a_N)$, on peut réécrire de façon plus concise l’expression de l'espérance :

$𝔼(|X-Y|)=N(4p{\mathrm{\Phi }}_{N-1}(a_N-1)-2{\mathrm{\Phi }}_N(a_N)+1-2p)$.

Application

On suppose ici que $p=\frac{1}{2}$.

Trouver une expression de ${\mathrm{\Phi }}_N(a_N)$ en fonction de la parité de N. Modèle:Solution

Trouver une expression de ${\mathrm{\Phi }}_{N-1}(a_N-1)$ en fonction de la parité de N. Modèle:Solution

Conclure en donnant une expression de l'espérance recherchée. Modèle:Solution