Variables aléatoires discrètes/Exercices/Autour de la loi uniforme

Posons le problème

Le but de cet exercice est de définir une nouvelle loi à partir de la loi uniforme.

Situation initiale

Thomas attend devant un ascenseur qui dessert tous les étages entre le $a$-ième et le $b$-ième. Seulement, il n’est pas seul devant. Thomas se pose la question suivante : quelle probabilité ai-je que mon étage soit le premier étage où l'ascenseur s'arrête ?

Formalisation

On considérera que $(a,b)\in {\mathbb{N}}^{*2}$, et que $0<a\le b$

On considérera également qu’il se trouve devant l'ascenseur N personnes avec N > 0.

On notera $e_i$ l'étage choisi par la personne i, et E l’ensemble des étages choisis par les individus $E=\{e_1,\cdots ,e_N\}$.

Je ferai l'abus de notation suivant $F=\{a,a+1,\cdots ,b-1,b\}=[a,b]$.

De même, on fera les hypothèses suivantes :

• une personne choisit aléatoirement et selon une loi uniforme son étage, c'est-à-dire $e_i\sim 𝒰([a,b])$ ;
• les variables $e_i$ sont indépendantes.

La question devient : $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=k)$, avec $k\in [a,b]$.

Questions

Les questions suivantes (hors application numérique) sont classées par ordre croissant de difficulté.

1. Calculer : $\mathrm{\forall }i\in [1,N],\mathbb{P}(e_i=k)$
2. Que vaut l’ensemble E lorsque $\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=b$ ? En déduire $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=b)$.
3. Calculer $\mathbb{P}(e_i\ge k)$ et en déduire $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k)$.
4. Après avoir exprimé $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=k)$ en fonction de $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k)$ et $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k+1)$, donner sa valeur.
5. Application numérique : l'ascenseur dessert tous les étages entre le premier et le dixième étage. Il y a dix personnes qui prennent l'ascenseur. Quelle est la probabilité que je sois le premier à descendre alors que je descend au sixième ?

Solutions

Question 1

Par hypothèse, $e_i\sim 𝒰([a,b])$ donc $\mathrm{\forall }i\in [1,N]\mathbb{P}(e_i=k)=\frac{1}{\mathrm{card}(F)}$.

Or $\mathrm{card}(F)=1+b-a$. Finalement on obtient que : $\mathrm{\forall }k\in [a,b]\mathbb{P}(e_i=k)=\frac{1}{1+b-a}$.

Question 2 : cas particulier

On a $\min (E)=b=\max ([a,b])$ lorsque tous les éléments de E valent b. Or les $e_i$ sont indépendantes, donc la probabilité recherchée vaut : $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=b)=\mathbb{P}(\mathrm{\forall }i\in [1,N]e_i=b)=\prod _{i\in [1,N]}\mathbb{P}(e_i=b)=\frac{1}{(1+b-a{)}^N}$.

Question 3

$\mathbb{P}(e_i\ge k)=\sum _{j=k}^b\mathbb{P}(e_i=j)$.

Or d’après la question 1, on sait que $\mathbb{P}(e_i=j)=\frac{1}{1+b-a}$. On en tire immédiatement la relation :

$\mathbb{P}(e_i\ge k)=\sum _{j=k}^b\frac{1}{1+b-a}=\frac{1+b-k}{1+b-a}$.

En appliquant le même raisonnement que pour la question 2, on a :

$\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k)=\mathbb{P}(\mathrm{\forall }i\in [1,N]e_i\ge k)=\prod _{i\in [1,N]}\mathbb{P}(e_i\ge k)=(\frac{1+b-k}{1+b-a}{)}^N$.

Question 4 : cas général

L'événement $\{\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=k\}$ est égal à $\{\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k\}\setminus \{\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k+1\}$.

De cette réécriture, on déduit que :

$\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=k)=\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k)-\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}\ge k+1)$.

La question 3 nous permet de conclure : $\mathbb{P}(\min (e_i{)}_{i\in [1,N]}=k)=\frac{(1+b-k{)}^N-(b-k{)}^N}{(1+b-a{)}^N}$.

Question 5

Il suffit d'appliquer la formule avec :

• N = 10 ;
• b = 10 ; a = 1 ;
• k = 6.

${\mathbb{P}}_{10}(\min (e_i{)}_{i\in [1,10]}=6)=\frac{(1+b-k{)}^N-(b-k{)}^N}{(1+b-a{)}^N}=\frac{5^{10}-4^{10}}{10^{10}}\approx 8,7\times 10^{-4}$.