Variables aléatoires discrètes/Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson
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Comparaison des modèles
- Le modèle classique de la loi binomiale est la probabilité d’avoir un nombre donné k de succès sur un certain n nombre d'essais indépendants.
- Pour la loi de Poisson, il s'agit de la probabilité d’avoir k succès (attention, ceci est juste une façon de parler, les succès peuvent être ... des pannes !) sur une période T avec un taux de succès .
- On peut donc imaginer qu'en "découpant" la période T en n petits intervalles de temps, la loi binomiale se rapproche de la loi de Poisson, à condition que n soit grand.
Approximation poissonnienne, version simplifiée
Exemple
Dans une chaîne de fabrication, 5% des pièces sont défectueuses ; on prélève une pièce, on examine si elle est défectueuse et on la replace parmi les autres. On répète 120 fois cette expérience. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 120 pièces associe le nombre des pièces défectueuses.
- X suit une loi binomiale. Précisons ses paramètres :
- Calculons p(x=5).
- Montrer qu'une approximation poissonnienne convient.
- Calculer p(X=5) avec cette approximation.
- Comparer les résultats.