Variables aléatoires continues/Loi normale

Présentation

La loi normale est la loi de probabilité continue la plus connue. Nous avons amorcé son étude au niveau 13, au chapitre 4 de la leçon sur les lois de probabilité continues.

On la retrouve dans de nombreuses situations concrètes, et aussi dans de nombreux résultats théoriques.

Sa densité de probabilité est la célèbre « courbe en cloche » de Gauss.

Définition

La loi normale est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir chap. 1) :

Courbes en cloche

Exemples de densités gaussiennes pour différentes valeurs des paramètres.

On observe la forme « en cloche », que l’on peut observer en statistiques quand on construit l'histogramme d'un caractère dépendant d'un grand nombre de données :

• la taille d'un individu (dépend de la taille de ses parents, de son alimentation, de son mode de vie…) ;
• la conformité d'une pièce technologique ;
• etc.

Loi normale centrée réduite

Un simple changement de variable dans le calcul de la fonction de répartition montre que : Modèle:Propriété

Moments

Variance et autres moments centrés

Si $X\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ alors $X-𝔼(X)=X-\mu \sim 𝒩(0,{\sigma }^2)$. Par conséquent : Modèle:Proposition

Cette valeur est significative : si $X\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ alors $\mathbb{P}(-3\sigma \le X-\mu \le 3\sigma )\approx 0,997$.

Souvent, on normalise le kurtosis d'une loi en lui soustrayant 3.

Table de probabilité

Dans les applications calculatoires, on se ramène à la table de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Dans ce tableau, pour $T\sim 𝒩(0,1)$, on donne $\mathbb{P}(T\le a)$ pour $a\in [0,00,3,99]$.

L'entrée en lignes représente les chiffres des unités et des dixièmes de $a$ et l'entrée en colonnes représente le chiffre des centièmes de $a$.