Trigonométrie/Théorème du cosinus

Modèle:Chapitre Le théorème du cosinus (aussi appelé théorème de Pythagore généralisé) est applicable à des triangles non rectangles. Historiquement, ce théorème est attribué au mathématicien perse Al-Kashi (1380 - 1429) mais semble avoir été connu dès l'Antiquité. Ce théorème est connu, en France, sous le nom de théorème d'Al-Kashi.

L'énoncé du théorème du cosinus, en français, est le suivant :

Dans un triangle quelconque, le carré de la longueur d'un des côtés est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, à laquelle il faut algébriquement soustraire le double produit des longueurs de ces deux autres côtés multiplié par le cosinus de l'angle opposé au côté initial. Modèle:Clr

Rappel du théorème de Pythagore

Triangle quelconque.

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

La longueur de l'hypoténuse est égale à la racine de la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Dans cet exemple, $c^2=h^2+l^2$ et $a^2=h^2+m^2$

Le théorème de Pythagore généralisé

Afin d'exprimer le côté $a$ en fonction des deux autres côtés $b$ et $c$ et de l'angle opposé $\alpha$, nous avons besoin des égalités suivantes :

• $b=l+m\Rightarrow m=b-l$
• $\cos (\alpha )=\frac{l}{c}\Rightarrow l=c\cos (\alpha )$

Nous arrivons donc au résultat suivant :

$\begin{array}{cc}{a}^2& =h^2+m^2\\ & =h^2+(b-l{)}^2\\ & =h^2+l^2+b^2-2bl\\ a^2& =c^2+b^2-2bc\cos (\alpha )\end{array}$

Modèle:ThéorèmeLes expressions des deux autres côtés $b$ et $c$ sont les suivantes :

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos (\beta )⟹b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos (\beta )}$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )⟹c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos (\gamma )}$Modèle:Bas de page