Trigonométrie/Exercices/Triangle quelconque

Modèle:Exercice Dans cette page, si rien n'est précisé, on considère un triangle $ABC$ et on pose :

$a=BCb=ACc=AB$

Les mesures des angles du triangle seront notées $A,B,C$

Exercice 13-1

Montrez que, dans un triangle, on a :

$a=b\cos C+c\cos B$

Exercice 13-2

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$

2°  $\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

3°  $\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C$

4°  $\sin A-\sin B+\sin C=4\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$

Exercice 13-3

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C$

2°  $\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+4\cos A\cos B\cos C+1=0$

3°  ${\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\cos }^{2}C=1-2\cos A\cos B\cos C$

4°  ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2+2\cos A\cos B\cos C$

Exercice 13-4

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  $\frac{1}{\tan A\tan B}+\frac{1}{\tan B\tan C}+\frac{1}{\tan C\tan A}=1$

2°  $\frac{\cos A}{\sin B\sin C}+\frac{\cos B}{\sin C\sin A}+\frac{\cos C}{\sin A\sin B}=2$

3°  $\sin 4A+\sin 4B+\sin 4C=-4\sin 2A\sin 2B\sin 2C$

4°  $\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1$

Exercice 13-5

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  ${\sin }^{3}A\sin (B-C)+{\sin }^{3}B\sin (C-A)+{\sin }^{3}C\sin (A-B)=0$

2°  $2\cos A\cos B\cos C=\frac{\sin 2A}{\tan B+\tan C}=\frac{\sin 2B}{\tan C+\tan A}=\frac{\sin 2C}{\tan A+\tan B}$

4°  $\frac{\sin A}{\sin B\sin C}=\cot B+\cot C$

5°  $\sin C=\frac{{\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B}{\sin (A-B)}$

Exercice 13-6

Transformer en produit les expressions suivantes :

1°  $1+\cos A+\cos B+\cos C$

2°  ${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B-{\sin }^{2}C$

Exercice 13-7

Dans un triangle, simplifier les expressions :

1°  $1+\cos A+\cos B-\cos C$

2°  $\frac{\sin A+\sin B-\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}$

Exercice 13-8

Démontrer que, dans un triangle quelconque, on a :

$a\sin (B-C)+b\sin (C-A)+c\sin (A-B)=0$

Exercice 13-9

En appelant $S$ l'aire du triangle $ABC$ et $R$ le rayon du cercle circonscrit, démontrer que l’on a :

$a\cos A+b\cos B+c\cos C=\frac{2S}{R}$

$a\sin A+b\sin B+c\sin C=\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}$

Exercice 13-9

Les relations :

$\{\begin{array}{c}a=b\cos C+c\cos B\\ b=a\cos C+c\cos A\\ \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\end{array}$

sont-elles distinctes ?

Exercice 13-10

On considère le système de trois relations suivant :

$\{\begin{array}{c}a=b\cos C+c\cos B\\ b=a\cos C+c\cos A\\ c=a\cos B+b\cos A\end{array}$

1°  Montrer que les trois relations sont distinctes.

2°  En supposant $a,b,c$ positif, et $A,B,C$ compris entre 0 et $\pi$, montrer que si ces six nombres vérifient le système, ils sont les éléments d'un triangle.

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