Trigonométrie/Exercices/Triangle particulier

Modèle:Exercice Dans cette page, si rien n'est précisé, on considère un triangle $ABC$ et on pose :

$a=BCb=ACc=AB$

Les mesures des angles du triangle seront notées $A,B,C$

Exercice 14-1

1°  Que peut-on dire d'un triangle si l'on a :

$\sin A+\cos A=\sin B+\cos B$

2°  Même question pour :

$\sin A\cos A=\sin B\cos B$

Exercice 14-2

Les côtés d'un triangle valent :

$x^2+x+1,2x+1,x^2-1,(x>1)$.

Montrer que l'un des angles vaut $\frac{2\pi }{3}$

Exercice 14-3

Démontrer que si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, on a les relations :

1°  $\tan \frac{B}{2}=\frac{b}{a+c}$

2°  $\tan 2B=\frac{2bc}{c^2-b^2}$

3°  $\cos (B-C)=\frac{2bc}{a^2}$

4°  $\cos 2B=\frac{c^2-b^2}{a^2}$

Exercice 14-4

1°  Montrer que si dans un triangle on a :

${\sin }^{2}A={\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C$

le triangle est rectangle.

2°  Même question avec :

${\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C=2$

Exercice 14-5

Démontrer que les relations suivantes caractérisent un triangle rectangle :

1°  $b\cos B+c\cos C=2a\sin B\sin C$

2°  $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$

3°  $\sin C=\cos A+\cos B$

Exercice 14-6

On suppose que dans un triangle $ABC$ on a : $B=2C$. Démontrer que l'on a :

$b=2c\cos C;ac=b^2-c^2$

Étudier les réciproques

Exercice 14-7

Démontrer que si l'on a :

$6A=4B=3C$

on a aussi :

$\cos \frac{A}{2}=\frac{a+c}{2b}$

Exercice 14-8

Démontrer que si l’on a : $2b=a+c$, on a aussi :

1°  $\tan \frac{a}{2}\tan \frac{c}{2}=\frac{1}{3}$

2°  $4(1-\cos A)(1-\cos C)=\cos A+\cos C$

Exercice 14-9

Montrer que si :

$b-a=ncn\in N^{*}$

on a aussi :

1°  $\cos (A+\frac{C}{2})=n\cos \frac{C}{2}$

2°  $\tan \frac{B-A}{2}=\frac{n\sin B}{1+n\cos B}$

Exercice 14-10

Que peut-on dire d'un triangle si l'on a :

1°  $\sin B=2\sin C\cos A$

2°  $\sin A\sin B={\cos }^2\frac{C}{2}$

3°  $a=2b\sin \frac{A}{2}$

4°  $\sin \frac{A}{2}{\cos }^3\frac{B}{2}=\sin \frac{B}{2}{\cos }^3\frac{A}{2}$

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