Trigonométrie/Exercices/Simplification d'expressions

Exercice 5-1

Simplifiez :

1°  $\sin 3x\cos 5x-\cos 3x\sin 5x$ ;

2°  $\cos 7x\cos 4x+\sin 7x\sin 4x$. Modèle:Solution

Exercice 5-2

Simplifiez :

1°  $\frac{\sin 2a}{\sin a}-\frac{\cos 2a}{\cos a}$

2°  $\frac{\sin 3a}{\sin a}-\frac{\cos 3a}{\cos a}$. Modèle:Solution

Exercice 5-3

Exprimer l'expression suivante en fonction de $\cos 2x$ et $\sin 2x$ :

$A={\cos }^{2}x-2\sin x\cos x-5{\sin }^{2}x$.

Exercice 5-4

Simplifier l'expression :

$2({\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x)-3({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x)$.

Exercice 5-5

Montrer que les expressions :

1°  $\frac{\sin x+\cos x}{3\sin x-2\cos x}$

2°  $\frac{\sin x-\cos x}{{\sin }^{3}x+2{\cos }^{3}x}$

3°  $\frac{{\sin }^{3}x+\cos x}{\sin x-\cos x}$

peuvent s'exprimer à l'aide de la seule fonction $\tan x$. Modèle:Solution

Exercice 5-6

Montrer que les expressions :

1°  $\frac{{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x}{{\sin }^{4}x-{\cos }^{4}x}$

2°  $\frac{{\sin }^{3}x-{\cos }^{3}x}{\sin x-\cos x}$

3°  $\frac{{\sin }^{2}x+\sin x\cos x}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}$

4°  ${\cos }^{2}x-\sin x\cos x$

peuvent s'exprimer à l'aide de la seule fonction $\tan x$. Modèle:Solution

Exercice 5-7

Simplifier les expressions :

1°  $\frac{\tan a+\tan b}{\cos a+\cos b}$ ;

2°  $(\sin a+\sin b{)}^2+(\cos a+\cos b{)}^2$ ;

3°  $\frac{2\sin a-\sin 2a}{2\sin a+\sin 2a}$ ;

4°  $\frac{1-\sin x+\cos x}{1+\sin x+\cos x}$. Modèle:Solution

Exercice 5-8

Simplifier les expressions :

1°  $\frac{{\cos }^{2}a-{\cos }^{2}b}{\sin (a+b)}$ ;

2°  $\frac{\sin (a-b)}{\sin a\pm \sin b}$ ;

3°  $\frac{{\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b}{(\cos a+\cos b{)}^2}$ ;

4°  $\frac{\sin a-\sin b}{\tan a-\tan b}$. Modèle:Solution

Exercice 5-9

Simplifier les expressions :

1°  $\frac{\sin a+\sin 4a+\sin 7a}{\cos a+\cos 4a+\cos 7a}$ ;

2°  $\frac{\sin 2a+2\sin 3a+\sin 4a}{\sin 3a+2\sin 4a+\sin 5a}$. Modèle:Solution

Exercice 5-10

1°  On considère les expressions :

$S=\sin x+\sin (x+r)+\sin (x+2r)+\cdots +\sin [x+(n-1)r]$

$S^{\prime }=\cos x+\cos (x+r)+\cos (x+2r)+\cdots +\cos [x+(n-1)r]$

que l'on se propose de simplifier.

a)  À cet effet, on calculera $S\sin \frac{r}{2}$ et $S^{\prime }\sin \frac{r}{2}$ et l'on transformera chaque produit partiel en une différence de sinus ou de cosinus.

b)  Étudier le cas où $r=\frac{2\pi }{n}$

2°  Pour $a$ non multiple de $\pi$, simplifier les expressions :

a)  $\sin a+\sin 2a+\cdots +\sin na$ ;

b)  $1+\cos a+\cos 2a+\cdots +\cos na$ ;

c)  ${\sin }^{2}a+{\sin }^{2}2a+\cdots +{\sin }^{2}na$ ;

d)  $1+{\cos }^{2}a+{\cos }^{2}2a+\cdots +{\cos }^{2}na$.

3°  Pour $na$ non multiple de $\frac{\pi }{2}$, simplifier l'expression :

$\frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\cdots +\sin (2n-1)a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cdots +\cos (2n-1)a}$.