Trigonométrie/Exercices/Résolution du triangle

Modèle:Exercice Dans cette page, si rien n'est précisé, on considère un triangle $ABC$ et l'on pose :

$a=BCb=ACc=AB$

Les mesures des angles du triangle seront notées $A,B,C$

Lorsque l'on demandera de résoudre un triangle, on devra comprendre que, dans ce triangle, on demande de trouver la longueur des côtés que l'on ne connait pas et la mesure des angles que l'on ne connait pas.

On pourra utiliser la table Valeurs trigonométriques exactes.

Exercice 15-1

Dans un triangle, on suppose que $A=\frac{\pi }{3}$ et $a=\sqrt{3}(b-c)$.

Calculer $B$ et $C$.

Exercice 15-2

Dans un triangle on suppose que : $c(a^2-c^2)=b(a^2-b^2)$.

Calculer $A$.

Exercice 15-3

Les côtés d'un triangle sont :

$a,a+1,a+2$

et l'on a en outre : $C=2A$.

Calculer les côtés du triangle.

Exercice 15-4

Montrer que l'aire $S$ d'un triangle peut être donnée par la formule :

$S=\frac{(a+b+c{)}^2}{4}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}$

Exercice 15-5

Résoudre un triangle $ABC$ dans les cas suivant :

1°  $A=\frac{3\pi }{10};B=\frac{\pi }{10};a=1+\sqrt{5}$

2°  $A=\frac{\pi }{4};B=\frac{\pi }{6};c=1+\sqrt{3}$

3°  $B=\frac{\pi }{8};C=\frac{3\pi }{4};c=\sqrt{2}$

4°  $A=\frac{3\pi }{4};B-C=\frac{\pi }{12};b=\sqrt{2}$

Exercice 15-6

Résoudre un triangle $ABC$ dans les cas suivant :

1°  $a=2;b=\sqrt{6};c=1+\sqrt{3}$

2°  $a=2;b=\sqrt{2+\sqrt{2}};c=\sqrt{2-\sqrt{2}}$

3°  $a=4;b=1+\sqrt{5};c=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

4°  $a=\sqrt{\frac{5}{2}};b=1+\sqrt{5};c=1-\sqrt{5}$

Exercice 15-7

Résoudre un triangle $ABC$ dans les cas suivant :

1°  $b=2;c=\sqrt{2};A=\frac{\pi }{4}$

2°  $b=2+\sqrt{3};c=1;A=\frac{\pi }{3}$

3°  $a=\sqrt{5}-1;b=4;A=\frac{\pi }{10}$

4°  $a=2;b=4;A=\frac{\pi }{3}$

5°  $a=\sqrt{2};b=\sqrt{2-\sqrt{2}};A=\frac{\pi }{4}$

6°  $b=\sqrt{\frac{3}{2}};c=1;C=\frac{\pi }{4}$

Modèle:Solution

Exercice 15-8

On considère un triangle $ABC$ isocèle ($AB=AC$). On appelle $2p$ son périmètre $(p=\frac{a+b+c}{2})$. Soit $R$ le rayon du cercle circonscrit et $r$ le rayon du cercle inscrit.

1°  Exprimer $p$ en fonction de $R$ et de $A$.

2°  Exprimer $r$ en fonction de $R$ et de $\sin \frac{A}{2}$

3°  Résoudre le triangle $ABC$, si $a=4$ et $\frac{r}{R}=\sqrt{2}-1$

Exercice 15-9

On considère un triangle $ABC$ isocèle. Soit $R$ le rayon du cercle circonscrit et $r$ le rayon du cercle inscrit.

1°  Montrer que la distance des centres de ces deux cercles vaut $\sqrt{R(R-2r)}$

2°  Résoudre le triangle connaissant $r$ et $R$

Exercice 15-10

Dans un triangle $ABC$, on mène la médiane $CM$ et on appelle $\alpha$ l'angle $\widehat{ACM}$ et $\beta$ l'angle $\widehat{BCM}$.

1°  Établir la relation :

$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

2°  Résoudre le triangle sachant que :

$CM=5;\alpha =\frac{\pi }{4};\beta =\frac{\pi }{3}$

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