Trigonométrie/Exercices/Résolution d'équations 1

Exercice 6-1

Résoudre les équations :

1°  $\cos (x+\frac{\pi }{6})\cos (x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ ;

2°  $\sin (2x+\frac{\pi }{6})\sin (2x-\frac{\pi }{6})=\frac{1}{2}$ ;

3°  $\cos (2x+\frac{\pi }{3})+\cos (2x-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

4°  $\cos (2x-\frac{\pi }{3})-\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

5°  $\cos (x+\frac{\pi }{3})\sin (x+\frac{\pi }{6})=-\frac{\sqrt{3}+1}{4}$ ;

6°  $\sin (x+\frac{\pi }{3})\sin (x-\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$. Modèle:Solution

Exercice 6-2

Trouver tous les réels $x$ de l'intervalle $[0,2\pi ]$ tels que :

1°  $\cos 4x\cos x+\sin 4x\sin x=\cos \frac{\pi }{12}$ ;

2°  $\cos 7x\cos x+\sin 7x\sin x=\cos \frac{\pi }{12}$. Modèle:Solution

Exercice 6-3

Trouver tous les réels $x$ de l'intervalle $[0,2\pi ]$ tels que :

$\sin 5x\cos x-\cos 5x\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Exercice 6-4

Résoudre les équations :

1. $\sin x+\cos x=1$ ;
2. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$ ;
3. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}$.

Exercice 6-5

L'équation du second degré :

$x^2-5x+3=0$

possède deux solutions réelles $s$ et $t$.

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $s=\tan \alpha$ et $t=\tan \beta$.

Sans calculer $s$ et $t$, calculer $\tan (\alpha +\beta )$. Modèle:Solution

Exercice 6-6

Lorsque $p^2-4q>0$, le trinôme $x^2+px+q$ admet deux racines réelles $s$ et $t$.

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $s=\tan \alpha$ et $t=\tan \beta$.

Calculer en fonction de $p$ et $q$ l'expression :

${\sin }^2(\alpha +\beta )+p\sin (\alpha +\beta )\cos (\alpha +\beta )+q{\cos }^2(\alpha +\beta )$.

Exercice 6-7

Résoudre les équations :

1°  $\sin x+2\cos x+\sin 3x=0$ ;

2°  $\cos x+\cos 3x=\sin x+\sin 3x$. Modèle:Solution

Exercice 6-8

Résoudre l'équation :

${\cos }^{2}x-\sqrt{3}\sin x\cos x=0$.