Trigonométrie/Exercices/Problèmes récapitulatifs

Exercice 16-1

1°  On considère un cercle $𝒞$ de diamètre $AB$, de centre $O$. Un point $P$ de ce cercle se projette en $M$ sur $AB$.

Montrer que la tangente en $P$ à $𝒞$ est tangente aux cercles de centres $A$ et $B$ et passant par $M$.

2°  Soit $Q$ le second point d'interception du cercle $𝒞$ avec le cercle de diamètre $PM$, $E$ le centre de celui-ci, $I$ le point d'interception des droites $AB$ et $PQ$.

Montrer que la droite $IE$ est parallèle à la tangente en $P$ au cercle $𝒞$ et qu'elle est tangente aux cercles de diamètres $AM$ et $BM$ en ses points d'interception avec le cercle de diamètre $PM$.

3°  Soit $x=\widehat{AOQ}y=\widehat{AOP}$; établir les relations :

$2\tan \frac{x+y}{2}=\tan y,\tan \frac{x}{2}={\tan }^3\frac{y}{2}$.

4°  On suppose $y=3x$. Montrer que $x$ satisfait à l'équation :

$2{\cos }^{2}2x+\cos 2x-2=0$

Exercice 16-2

1°  On donne, dans un triangle $ABC$, le périmètre $2p$, le rayon $r$ du cercle inscrit, la hauteur $h$ issue du sommet $A$.

Établir les formules permettant de calculer, en fonction des données, les trois côtés $a,b,c,$ et les trois angles $A,B,C$ du triangle.

2°  Quelle relation doit-il exister entre $p,r$ et $h$ pour que le triangle soit rectangle en $A$ ?

3°  On suppose $p=6,h=3$. Entre quelles limites doit varier $r$ pour que le triangle (que cette fois on suppose quelconque) puisse exister ?

4°  Calculer côtés et angles lorsque $p=6,h=3,r=1$.

Exercice 16-3

On considère les triangles $ABC$ dans lesquels la différence $B-C$ vaut un droit.

1°  Établir les formules qui permettent de calculer les angles d'un tel triangle connaissant la valeur du rapport $\frac{b+c}{a}=m$. Cas particulier $m=\sqrt{2}$.

2°  Démontrer que la hauteur issue du sommet $A$ est tangente au cercle circonscrit du triangle.

3°  Vérifier que les côtés $a,b,c$ du triangle et le rayon $R$ du cercle circonscrit sont liés par la relation $b^2-c^2=2aR$. Étudier la réciproque.

4°  La base $BC$ d'un tel triangle étant fixe, trouver le lieu géométrique du sommet $A$ et le lieu du point $H$ de rencontre des hauteurs.

Exercice 16-4

Soit un triangle $ABC$.

1°  Calculer en fonction des sinus des angles du triangle les rapports $l,m,n$ de chacun des côtés $a,b,c$ à la hauteur correspondante.

2°  On donne le rapport $l$ et l’angle $A$; Calculer les angles $B$ et $C$. Discussion.

Application numérique : $A=\frac{\pi }{6};l=2$.

3°  Construire géométriquement le triangle $ABC$ connaissant $a,l,A$.

4°  Le triangle $ABC$ obtenu à la question précédente peut-il être isocèle ?

Peut-il être rectangle ?

Quelles sont les relations liant $l$ et $A$ dans chacun de ces différents cas ?

Exercice 16-5

Soit $ABC$ un triangle dont les angles $B$ et $C$ sont aigus, l'angle en $A$ pouvant être aigu ou obtus; on appelle $𝒞$ le cercle circonscrit et $R$ son rayon. On construit le triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ tel que les côtés $B^{\prime }{C}^{\prime },C^{\prime }{A}^{\prime },A^{\prime }{B}^{\prime }$ soient tangents au cercle $𝒞$ respectivement en $A,B$ et $C$; On appelle ${𝒞}^{\prime }$ le cercle circonscrit à ce triangle et $R^{\prime }$ son rayon. Enfin, $a,b,c,A,B,C$ désignent les éléments du triangle $ABC$ et $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ ceux du triangle $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

1°  Montrer que :

$A^{\prime }=\pi -2A;B^{\prime }=\pi -2B;C^{\prime }=\pi -2C$ si $A$ est aigu

et :

$A^{\prime }=2A-\pi ;B^{\prime }=2B;C^{\prime }=2C$ si $A$ est obtus.

2°  Calculer en fonction de $R$ et des angles $A,B,C$ les longueurs des segments $A{B}^{\prime },A{C}^{\prime },B{C}^{\prime },B{A}^{\prime },C{A}^{\prime },C{B}^{\prime }$.

3°  Établir les formules :

$a=2a^{\prime }\cos B\cos C;b=2b^{\prime }|\cos C\cos A|;c=2c^{\prime }|\cos A\cos B|$

$R=4R^{\prime }|\cos A\cos B\cos C|$

Exercice 16-6

On considère un triangle $ABC$ dans lequel la hauteur issue de $A$ est double du diamètre du cercle inscrit : $h=4r$. On donne la longueur $r$ et le côté $BC=a$

1°  Calculer le demi-périmètre $p$. Montrer que l’on peut calculer $\tan \frac{A}{2}$.

2°  Achever la résolution du triangle en calculant soit $B-C$, soit $\frac{B-C}{2}$ par leurs cosinus, soit le produit $bc$.

Application : $a=3r$. Calculer les trois angles.

3°  On se propose de donner une construction géométrique du triangle. Placer d'abord le côté $BC=a$. Calculer $AB+AC$ et en déduire un lieu géométrique sur lequel se trouve le sommet $A$. Achever la construction et discuter. (On donnera explicitement la réalisation effective de la construction au moyen de la règle et du compas.)

Exercice 16-7

Un triangle variable $ABC$ est inscrit dans un cercle fixe $𝒞$ de centre $O$ et de rayon $R$; le sommet $A$ est fixe et le côté $BC$ passe par le milieu $D$ de $OA$. On appelle $A,B,C$ les angles du triangles, $S$ l'aire du triangle et $\phi$ l'angle $\widehat{ADB}$.

1°  Trouver le lieu du point de rencontre des médianes du triangle $ABC$.

2°  Démontrer la relation :

$\phi =\frac{\pi }{2}+C-B$

3°  Établir les trois relations :

$2\cos (B+C)=\cos (B-C);\tan B\tan C=\frac{1}{3};S=-\frac{R^2}{2}\sin 2A$

Réciproquement, l'une quelconque de ces trois relations est-elle suffisante pour que le côté $BC$ passe par le milieu $D$ de $OA$ ?

4°  On donne l'angle $\phi$ entre $0$ et $\pi$. Calculer $A,B,C$. Discuter géométriquement.

Application : $\phi =\frac{\pi }{10}$ (voir les Valeurs trigonométriques exactes)

5°  Calculer $\tan A$ en fonction de $\tan B$.

Exercice 16-8

On considère les triangles dont les angles $A,B,C$ satisfont à la relation :

$m\cos B\cos C=\cos A$

où $m$ est un nombre algébrique donné différent de -1.

1°  Montrer que l’on a :

$\tan B\tan C=m+1$;

$\tan B+\tan C=m\tan A$.

Calculer $B$ et $C$ connaissant $A$. Discuter. Étudier le cas où l'angle $A$ est droit.

2°  On appelle $H$ l'orthocentre et $A{A}^{\prime }$ la hauteur issue de $A$. Démontrer que l'on a :

$\frac{HA}{H{A}^{\prime }}=m$

Étudier les cas particuliers :

$m=0;m=2$.