Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2

Exercice 4-1

Démontrer les identités suivantes :

1°  $\tan 2a-\tan a=\frac{\tan a}{\cos 2a}$ ;

2°  $\tan 2a-\tan a=\frac{2\sin a}{\cos a+\cos 3a}$ ;

3°  $\sin 2a=\frac{2}{\tan a+\cot a}$ ;

4°  $\frac{2{\tan }^{2}a}{1+{\tan }^{4}a}=\frac{{\tan }^{2}2a}{2+{\tan }^{2}2a}$. Modèle:Solution

Exercice 4-2

Démontrer les formules suivantes :

1°  $\frac{1-\cos a}{1+\cos a}={\tan }^2\frac{a}{2}$ ;

2°  $\frac{1-\sin a}{\cos a}=\frac{\cos a}{1+\sin a}=\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{a}{2})$ ;

3°  $\frac{1-\sin a}{1+\sin a}={\tan }^2(\frac{\pi }{4}-\frac{a}{2})$.

Exercice 4-3

Soient $p$ et $q$ deux réels tels que $\cos p\cos q\ne 0$. Démontrer que :

1°  $\tan p+\tan q=\frac{\sin (p+q)}{\cos p\cos q}$ ;

2°  $\tan p-\tan q=\frac{\sin (p-q)}{\cos p\cos q}$. Modèle:Solution

Exercice 4-4

Démontrer que pour tout réel $\alpha$ :

1°  $\cos \alpha +\sin \alpha =\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}-\alpha )=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )$ ;

2°  $\cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\cos (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}-\alpha )$. Modèle:Solution

Exercice 4-5

Vérifier la relation :

$\tan (\frac{\pi }{4}+a)-\tan (\frac{\pi }{4}-a)=2\tan 2a$.

Exercice 4-6

Vérifier les relations :

1°  $\cos 2a=\frac{1}{1+\tan a\tan 2a}$ ;

2°  $\sin 2a=\frac{1-{\tan }^2(\frac{\pi }{4}-a)}{1+{\tan }^2(\frac{\pi }{4}-a)}$. Modèle:Solution

Exercice 4-7

Vérifier les relations :

1°  $\tan a+\tan b=\frac{2\sin (a+b)}{\cos (a+b)+\cos (a-b)}$ et $\tan a=\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}$ ;

2°  $\tan \frac{a+b}{2}=\frac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}=-\frac{\cos a-\cos b}{\sin a-\sin b}$ ;

3°  $\tan (a+b)=\frac{{\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}$ ;

4°  ${\tan }^{2}a-{\tan }^{2}b=\frac{\sin (a+b)\sin (a-b)}{{\cos }^{2}a{\cos }^{2}b}$. Modèle:Solution

Exercice 4-8

Vérifier les relations :

1°  $(1+\tan a+\frac{1}{\cos a})(1+\tan a-\frac{1}{\cos a})=\frac{\sin 2a}{{\cos }^{2}a}$ ;

2°  $\frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\tan 3a\tan a=\frac{{\tan }^{2}2a-{\tan }^{2}a}{1-{\tan }^{2}a{\tan }^{2}2a}$. Modèle:Solution