Trigonométrie/Cercle trigonométrique

Présentation du cercle trigonométrique

Soit $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ un repère orthonormé. Nous pouvons y construire un cercle $𝒞$ de centre $O$ et de rayon égal à la norme de $\overrightarrow{i}$ (et $\overrightarrow{j}$). Les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{j}$ étant unitaires, ce cercle a pour rayon 1.

Le cercle trigonométrique.

Modèle:Définition Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l’axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d’un point origine, d’une unité de longueur et d’une orientation. L'origine sera le point $I$ d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé sens trigonométrique.

Le périmètre du cercle $𝒞$ est donné par :

$\begin{array}{cc}P& =2\pi \times 1\\ & =2\pi .\end{array}$

Sur l’axe réel, il est bien difficile de placer le point $x=2\pi$ mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs $0$ et $2\pi$ se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour $2\pi ,4\pi ,-2\pi ,-4\pi ,\dots$. Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés $\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{4}\dots$. Modèle:Définition

Une abscisse curviligne est, de préférence, donnée sous la forme $\lambda \pi$, avec $\lambda \in ℝ$.

Sur le cercle trigonométrique, deux points $A$ et $B$, d'abscisses respectives $x_A$ et $x_B$, définissent un arc orienté $\stackrel{\curvearrowright }{AB}$, c'est-à-dire un segment courbe ayant une origine (ici, $A$) et un sens (ici de $A$ vers $B$).

Une abscisse curviligne de $M_0$ et un arc orienté $AB$.

Le radian

Quelques correspondances radian-degré.

Remarques :

• Il existe une infinité d'angles orientés associés à un arc du cercle $𝒞$, séparés par une distance égale à $2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
• On montre aisément que :

$1\text{ rad}=\frac{180^{\circ }}{\pi }.$

L'angle $\alpha$ peut aussi être noté :

$(\widehat{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}})$ ou $(\overline{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}}).$

La dernière notation correspond à la mesure de $\stackrel{\curvearrowright }{AB}$ mais il y a coïncidence entre l'angle et la mesure de son arc associé.

Sinus, cosinus, tangente, cotangente

Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :

• l’axe ${\mathrm{\Delta }}_1$, image de $x^{\prime }x$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{j}$ ;
• l’axe ${\mathrm{\Delta }}_2$, image de $y^{\prime }y$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{i}$.

Représentation des fonctions $\sin$, $\cos$, $\tan$ et $\cot$.