Triangles et parallèles/Exercices/Théorème de Thalès

Exercice

NAC est un triangle. On suppose que :

• (PM) est parallèle à (AC) ; (RS) est parallèle à PM ;
• P appartient à [AN]; M appartient à [CN]; R appartient à [MC]; S appartient à [PA] ;
• NM = Modèle:Unité ; NC = Modèle:Unité ; NP = Modèle:Unité.

Schéma

1. Écrire toutes les égalités qui résultent de la propriété des 3 rapport égaux en précisant le triangle concerné.

2. Calculer la longueur PA.

Exercice

Démonstration : À un tiers de sa hauteur, une pyramide occupe deux tiers de son volume total

Rappel sur le calcul du volume d'une pyramide

Le volume d'une pyramide de hauteur $H$, dont la largeur de la base est $L$, est :

$\frac{H{L}^2}{3}$

L'évolution du volume de la pyramide revient à tronquer celle-ci par une plus petite partant du sommet

Partons du schéma ci-dessous

Dans le schéma, le volume de la grande pyramide vaut $V=\frac{H{L}^2}{3}$, et celui de la petite pyramide vaut $v=\frac{h{l}^2}{3}$

La hauteur de la pyramide tronquée peut s'obtenir à partir des hauteurs des deux pyramides par la formule :

$\mathrm{d}h=H-h$

On peut alors exprimer le pourcentage d’évolution de la pyramide par :

$\partial h=\frac{\mathrm{d}h}{H}$.

Du coup $h=H-\mathrm{d}h=H-H*\partial h=H(1-\partial h).$

Si on fait varier la hauteur de la petite pyramide de cette manière $h:H\searrow 0$ alors $\mathrm{d}h$ varie comme suit $0\nearrow H$ et $\partial h$ varie comme suit $0\nearrow 100\mathrm{\%}$

Application du théorème de Thalès à la pyramide

On peut appliquer le théorème de Thalès dans le schéma et relier les dimensions des deux pyramides. On obtient : $\frac{h}{H}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{L}{2}}=\frac{l}{L}$

Donc on peut exprimer $l$ à partir de $L$ et de $\partial h$ comme suit $l=L*\frac{h}{H}$ ou encore $l=L*\frac{H*(1-\partial h)}{H}=L*(1-\partial h)$

Le remplissage de la pyramide tronquée est donc $VT=V-v=V-\frac{h*l^2}{3}$

Ce qui donne $VT=V-\frac{(H(1-\partial h))*(L(1-\partial h){)}^2}{3}=V-V*(1-\partial h)*(1-\partial h{)}^2$

Soit encore $VT=V*(1-(1-\partial h{)}^3)=V*(1-(1-3\partial h+3\partial h^2-\partial h^3))=V*(3\partial h-3\partial h^2+\partial h^3)$

L’évolution du remplissage de la pyramide tronquée est égal à $\partial VT=\frac{VT}{V}=3\partial h-3\partial h^2+\partial h^3$

À un tiers de sa hauteur, le volume rempli de la pyramide est donc de : $3*\frac{1}{3}-3(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{1}{3}{)}^3=\partial VT1/3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{27}=\frac{2}{3}+\frac{1}{27}$, soit très proche de $\frac{2}{3}$

Démonstration graphique

Si on trace la courbe $3\partial h-3\partial h^2+\partial h^3$ on peut voir effectivement qu’à un tiers de sa hauteur, il y a deux tiers du volume d'une pyramide

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