Translation et homothétie/Exercices/Constructions

Exercice 5-1

Soit $𝒟$ et ${𝒟}^{\prime }$ deux droites sécantes.

Soit $I$ un point extérieur à $𝒟$ et ${𝒟}^{\prime }$.

Déterminer un point $A$ sur $𝒟$ et un point $B$ sur ${𝒟}^{\prime }$ tel que $I$ soit le milieu de $[AB]$. Modèle:Solution

Exercice 5-2

Soient :

• $𝒞$ un cercle, de centre $O$ ;
• $A$ un point de $𝒞$ ;
• $B$ le point défini par $\overrightarrow{OB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}$ ;
• $𝒟$ la perpendiculaire à $(OB)$ passant par $B$ ;

Trouver un point $M$ de $𝒟$ et un point $N$ de $𝒞$ tels que $OAMN$ soit un parallélogramme.

Exercice 5-3

On considère trois droites ${\mathrm{\Delta }}_A$, ${\mathrm{\Delta }}_B$ et ${\mathrm{\Delta }}_C$, concourantes en un point $G$.

On se propose de construire trois points $A\in {\mathrm{\Delta }}_A$, $B\in {\mathrm{\Delta }}_B$ et $C\in {\mathrm{\Delta }}_C$ tels que le triangle $ABC$ ait pour médianes ${\mathrm{\Delta }}_A$, ${\mathrm{\Delta }}_B$ et ${\mathrm{\Delta }}_C$. Pour cela, on procédera par analyse et synthèse.

1°  On suppose le problème résolu et la figure construite (on fera une figure approximative au brouillon). On note $A^{\prime }$ le milieu de $[BC]$. Quel est le rapport de :

a)  l'homothétie de centre $A$ qui transforme $G$ en $A^{\prime }$ ?

b)  l'homothétie de centre $A^{\prime }$ qui transforme $B$ en $C$ ?

2°  Démontrez que tout point $A$ de ${\mathrm{\Delta }}_A$, autre que $G$, est le sommet d'un unique triangle répondant à la question. Expliquez et justifiez la construction du triangle $ABC$. Modèle:Solution