Translation et homothétie/Exercices/Configurations

Exercice 3-1

Soient, dans un plan :

• $𝒞$ un cercle, de centre $O$ et de rayon $r$ ;
• ${𝒞}^{\prime }$ un cercle, de centre $O^{\prime }$ et de rayon $r^{\prime }$.

Donner les caractéristiques des homothéties qui transforment $𝒞$ en ${𝒞}^{\prime }$. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Soient :

• $ABC$ un triangle ;
• $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des côtés $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ ;
• $G$ le centre de gravité de $ABC$.

Pour tout point $M$, on note $P$, $Q$ et $R$ les symétriques de $M$ par rapport à $I$, $J$ et $K$. On se propose de montrer que $[AP]$, $[BQ]$ et $[CR]$ ont même milieu $O$, et que les points $O$, $G$ et $M$ sont alignés.

1. Montrez qu'il existe une homothétie $h_1$ qui transforme $(A,B,C)$ en $(I,J,K)$. Précisez ses éléments caractéristiques.
2. Montrez qu'il existe une homothétie $h_2$ qui transforme $(I,J,K)$ en $(P,Q,R)$.
3. Concluez en considérant la transformation $f=h_2\circ h_1$.

Exercice 3-3

Modèle:Wikipédia Soient :

• $ABC$ un triangle ;
• $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$ ;
• $\mathrm{\Gamma }$ et ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ les cercles circonscrits, respectivement, à $ABC$ et $IJK$.

1. Déterminez les homothéties qui transforment $\mathrm{\Gamma }$ en ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$.
2. Démontrez que ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }$ passe par :
   • les milieux de $[HA]$, $[HB]$ et $[HC]$, où $H$ désigne l'orthocentre de $ABC$ ;
   • les pieds des hauteurs de $ABC$.