Transformée de Laplace/Exercices/Courant dans un circuit RLC

Dans un laboratoire, un technicien étudie l'établissement d'un courant d'intensité i dans un circuit de type RLC. i est une fonction à valeur réelles de la variable t définie comme suit :

$\{\begin{array}{c}\text{si }t<0\text{ alors }i(t)=0\\ \text{si }t\ge 0\text{ alors }\frac{1}{2}{i}^{″}(t)+i^{\prime }(t)+i(t)=(t+1)U(t)\\ i(0^{+})=1\\ i^{\prime }(0^{+})=0\end{array}$

U est la fonction échelon unité, définie par :

$\{\begin{array}{c}U(t)=0\text{ si }t<0\\ U(t)=1\text{ si }t\ge 0\end{array}$

1. Déterminer, à l'aide de la variable réelle p, la transformée de Laplace de la fonction $t\mapsto (t+1)U(t)$

2. Exprimer, à l'aide de la variable réelle p et de la transformée de Laplace I de i, la transformée de Laplace de la fonction $t\mapsto \frac{1}{2}{i}^{″}(t)+i^{\prime }(t)+i(t)$

3. En déduire, pour $p>0$, I(p) en fonction de p

4. Montrer que, pour $p>0$, I(p) s'écrit sous la forme : $I(p)=\frac{1}{p^2}+\frac{p+1}{{(p+1)}^2+1}$

5. Déduire de ce qui précède l’expression de i(t) en fonction de t.

Le technicien chargé de l'étude s'intéresse maintenant aux valeurs approchées de i(t) lorsque t est positif et proche de 0. Il considère, à cet effet, la fonction f définie sur $ℝ$ par : $f(x)=x+\cos x+e^{-x}$.

6. Déterminer le développement limité de f à l’ordre 3 en x = 0 (on pourra utiliser les développements limités de $\cos x$ et $e^{-x}$ à l'ordre 3 en zéro). On admettra que le technicien peut alors écrire $i(t)=1+\frac{1}{3}{t}^3+t^3\epsilon (t)$ avec $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\epsilon (t)=0$