Transformée de Laplace/Exercices/Charge et décharge d'un condensateur

Dans le circuit ci-contre on se propose de rechercher, grâce à la transformation de Laplace, la fonction du temps donnant la tension $u_c(t)$ aux bornes du condensateur.

La force électromotrice $f$ appliquée aux bornes du circuit est définie en fonction de $t$ par :

$\{\begin{array}{cc}f(t)=0& \text{si }t<0\\ f(t)=E& \text{si }0\le t\le A\\ f(t)=0& \text{si }t>A\end{array}$

où $A$ et $E$ sont des nombres réels strictement positifs.

L'équation différentielle qui régit le circuit s'écrit :

$(E):\{\begin{array}{cc}RC\frac{d{u}_c}{dt}+u_c(t)=f(t)\mathrm{\forall }t\in [0;A]& \\ u_c(t)=0\mathrm{\forall }t<0\end{array}$

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie par :

$\{\begin{array}{cc}U(t)=0& \text{si }t<0\\ U(t)=1& \text{si }t\in R_{+}\end{array}$

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ et l'exprimer à l'aide de l'échelon-unité.

2. Déterminer la transformée de Laplace de chacun des deux membres de l'équation . (On notera $U_c(p)=ℒ\{u_c(t)\}$)

3. Montrer que : $U_c(p)=\frac{E(1-e^{-pA})}{p(1+RCp)}$

4. En déduire les expressions de $u_c(t)$ sur chacun des intervalles $]-\mathrm{\infty },0[$, $[0,A]$, $]A,+\mathrm{\infty }[$

5. Application numérique :

On donne $R=100\mathrm{\Omega }$ , $C=10^{-2}F$ , $A=1s$ , $E=1V$