Trace et transposée de matrice/Exercices/Propriétés de la trace

Exercice 1-1

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $h:{\mathrm{M}}_n(K)\to E$ une application linéaire invariante par similitude, c'est-à-dire telle que pour toutes matrices $A,P\in {\mathrm{M}}_n(K)$ avec $P$ inversible, $h(P^{-1}AP)=h(A)$.

1. Montrer que si $i\ne j$ alors $h(E_{i,i}+E_{i,j})=h(E_{i,i})=h(E_{1,1})$, où $E_{i,j}$ est la notation usuelle pour les $n^2$ matrices de la base canonique de ${\mathrm{M}}_n(K)$.
2. En déduire qu'il existe $e\in E$ tel que $\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_n(K)h(A)=\mathrm{tr}(A)e$.
3. En déduire que si $f:{\mathrm{M}}_n(K)\to E$ est une application linéaire vérifiant $\mathrm{\forall }A,B\in {\mathrm{M}}_n(K)f(AB)=f(BA)$, alors il existe $e\in E$ tel que $\mathrm{\forall }A\in {\mathrm{M}}_n(K)f(A)=\mathrm{tr}(A)e$.

Exercice 1-2

Soit $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Existe-t-il $A,B\in {\mathrm{M}}_n(K)$ telles que $AB-BA={\mathrm{I}}_n$ ? Modèle:Solution