Topologie générale/Exercices/Équicontinuité

Exercice 1

Soient K un espace compact, E un espace métrique et A un ensemble équicontinu de fonctions de K dans E.

Montrer que sur A, la [[../../Espace produit#Cas d'un produit d'espaces identiques|topologie de la convergence simple]] et [[../../Espace topologique#Exemples classiques d'espaces topologiques|celle de la convergence uniforme]] coïncident. Modèle:Solution

Exercice 2

Les deux ensembles suivants sont-ils équicontinus ?

1. $A=\{f_n:ℝ\to ℝ,x\mapsto x+n\mid n\ge 1\}$ ;
2. $B=\{g_n:[0,+\mathrm{\infty }[\to ℝ,t\mapsto \sin \sqrt{t+4n^2{\pi }^2}\mid n\ge 1\}$.

1. Soit $(f_n{)}_n$ la suite de fonctions de $[0,1]$ dans $ℝ$ définie par $f_n(x)=x^n$. En quels points l'ensemble $A:=\{f_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ est-il équicontinu ?
2. Même question pour l'ensemble $B$ des fonctions $g_n:ℝ\to ℝ$ définies par $g_n(x)=\arctan (nx)$.

Exercice 3

Soient $E,F$ deux espaces métriques, et $(f_n{)}_n$ une suite de fonctions de $E$ dans $F$, équicontinue en $a$. On suppose que $f_n(a)\to b$.

1. Montrer que si $x_n\to a$ alors $f_n(x_n)\to b$.
2. Ce résultat est-il encore vrai si l'on ne suppose plus l'équicontinuité ? On pourra considérer la suite $f_n(x)=(1+x{)}^n$ et $x_n=\frac{1}{n}$.

Exercice 4

Soit ${\mathrm{Hold}}^{\alpha }(I)$ l'espace de Banach des fonctions höldériennes d'exposant $\alpha \in ]0,1]$ de $I=[0,1]$ dans $ℝ$, muni de la norme

$\Vert f{\Vert }_{\alpha }=|f(0)|+\underset{x\ne y}{\sup }\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y{|}^{\alpha }}$.

On note ${\bar{B}}_{\alpha }$ la boule unité fermée de ${\mathrm{Hold}}^{\alpha }(I)$, et l'on rappelle que pour tout $f\in {\mathrm{Hold}}^{\alpha }(I)$, $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert f{\Vert }_{\alpha }$.

1. Montrer que pour tout $x\in I$, ${\bar{B}}_{\alpha }(x)$ est relativement compact dans $ℝ$.
2. Montrer que ${\bar{B}}_{\alpha }$ est équicontinue.
3. Dans $(C(I,ℝ),\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$, montrer que ${\bar{B}}_{\alpha }$ est fermée et en déduire qu'elle est compacte.

Exercice 5

Soit $k\in C([0,1]\times [0,1])$ et $K:C([0,1])\to C([0,1])$ définie par

$Kf(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}k(x,t)f(t)\mathrm{d}t$.

Soit $(f_n{)}_n$ une suite bornée de $C([0,1])$.

1. Montrer que $k$ est uniformément continue.
2. Montrer que $(K{f}_n{)}_n$ est équicontinue.
3. Montrer que $(K{f}_n{)}_n$ admet une sous-suite convergente.

Exercice 6

On considère l'espace de Banach ${\mathrm{L}}^1(ℝ)$, muni de sa norme habituelle $\Vert f{\Vert }_1=\underset{ℝ}{\int }|f|$. Pour tout $f\in {\mathrm{L}}^1(ℝ)$, on pose, pour $r>0$, $h\in ℝ$ et $x\in ℝ$ :

• $f_r(x)=\frac{1}{2r}\underset{x-r}{\overset{x+r}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$ ;
• ${\tau }_h(f)(x)=f(x+h)$.

Soit $𝒜\subset {\mathrm{L}}^1(ℝ)$ un sous-ensemble fermé tel que :

(i) $𝒜$ est borné ;

(ii) $\underset{u\in 𝒜}{\sup }\Vert {\tau }_h(u)-u{\Vert }_1\to 0$ quand $h\to 0$ ;

(iii) $\underset{u\in 𝒜}{\sup }\underset{|x|>R}{\int }|u(t)|\mathrm{d}t\to 0$ quand $R\to \mathrm{\infty }$.

On cherche à montrer que $𝒜$ est compact dans ${\mathrm{L}}^1(ℝ)$ car complet et précompact.

1. Montrer que pour tout $r>0$, $f_r$ est continue et intégrable.
2. Montrer que $\underset{f\in 𝒜}{\sup }\Vert f_r-f{\Vert }_1\to 0$ quand $r\to 0$.
3. Montrer que pour tout $r>0$, l'ensemble ${𝒜}_r:=\{f_r\mid f\in 𝒜\}$ est équicontinu.
4. En déduire que pour tout $R>0$, ${𝒜}_r$ est d'adhérence compacte dans $C([-R,R])$, puis dans ${\mathrm{L}}^1([-R,R])$.
5. Montrer que $𝒜$ est compact dans ${\mathrm{L}}^1(ℝ)$.

Exercice 7

Soit $V$ un sous-espace fermé de l'espace vectoriel $C([0,1])$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $ℝ$. Montrer que :

1. si toute application $f\in V$ est de classe CModèle:Exp, alors $V$ est de dimension finie ;
2. si toute application $f\in V$ est [[../../Espace métrique#Continuité uniforme|höldérienne]], alors $V$ est de dimension finie. (Indication : considérer les $F_n:=\{f\in V\mid \mathrm{\forall }x,y\in [0,1]|f(x)-f(y)|\le n|x-y{|}^{1/n}\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\}$.)