Espaces de Banach/Exercices/Topologie

Exercice 4-1

Soient $X$ un espace métrique, $E$ un espace de Banach et $\mu \in ]0,1]$ un nombre réel. Notons ${\mathrm{Hold}}^{0,\mu }(X,E)$ l'espace vectoriel des fonctions $\mu$-höldériennes de $X$ dans $E$.

1. Pour $a\in X$, on pose $\Vert f{\Vert }_a=\Vert f(a)\Vert +\underset{x\ne y}{\sup }\frac{\Vert f(x)-f(y)\Vert }{d(x,y{)}^{\mu }}$. Montrer que les normes $\Vert {\Vert }_a$ sur ${\mathrm{Hold}}^{0,\mu }(X,E)$ sont équivalentes lorsque a décrit $X$, et que ${\mathrm{Hold}}^{0,\mu }(X,E)$ est complet pour elles.
2. En déduire que l'espace ${𝒞}^{0,\mu }(X,E)$ des fonctions $\mu$-höldériennes bornées de $X$ dans $E$ est complet pour la norme $\Vert f\Vert :=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+\underset{x\ne y}{\sup }\frac{\Vert f(x)-f(y)\Vert }{d(x,y{)}^{\mu }}$.
3. Si $X$ est borné, montrer que ${\mathrm{Hold}}^{0,\mu }(X,E)\subset {𝒞}_b(X,E)$ (l'espace des fonctions continues bornées) et que l'injection linéaire canonique est continue lorsqu'on munit ${𝒞}_b(X,E)$ de la topologie de la convergence uniforme.
4. Soit $\mathrm{\Omega }$ un ouvert non vide de $ℝ$. En considérant les fonctions $f_a(x)=|x-a{|}^{\mu }$ pour tout $a\in \mathrm{\Omega }$, montrer que ${\mathrm{Hold}}^{0,\mu }(\mathrm{\Omega },ℝ)$ n'est pas séparable.

Exercice 4-2

Soit $E=C^1([-1,1])$ l'espace vectoriel des fonctions de classe CModèle:Exp sur $[-1,1]$.

1. On munit $E$ de la norme $\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Montrer que pour cette norme, la suite $(f_n{)}_{n\ge 1}$ définie par $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$ converge vers $f:x\mapsto |x|$, et en déduire que $(E,\Vert \cdot {\Vert }_{\mathrm{\infty }})$ n'est pas un espace de Banach.
2. On munit $E$ de la norme $\Vert f\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}+\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$. Montrer que $(E,\Vert \cdot \Vert )$ est un espace de Banach.