Topologie générale/Compacité

La compacité en topologie apporte une notion de finitude topologique. On ajoute également une condition de séparabilité à la définition : un espace topologique séparé est dit compact lorsque de tout recouvrement de cet espace par des ouverts on peut extraire un recouvrement fini. Un espace métrisable est compact si et seulement s'il est séquentiellement compact, c'est-à-dire si dans cet espace, toute suite admet une sous-suite convergente. Une partie d'un espace topologique est dite compacte si elle est compacte pour sa topologie induite.

Exemples :

• les compacts de R sont ses fermés bornés ;
• R lui-même n'est donc pas compact, tandis que R achevé (muni de la topologie étendue à R auquel ont été adjointes deux bornes infinies) est homéomorphe à [–1, 1] donc compact ;
• en ajoutant un seul point à un espace localement compact et en étendant convenablement sa topologie, on construit un espace compact : son compactifié d'Alexandrov. Par exemple, le compactifié d'Alexandrov de R est un cercle.

Compacité et applications continues

Le théorème suivant généralise le théorème des bornes, selon lequel l'image d'un segment [a, b], par une application continue à valeurs dans R, est bornée et contient ses deux bornes. Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Espaces métriques compacts

D'après la remarque ci-dessus sur les intersections de fermés, dans un espace métrique compact, l'ensemble $\bigcap _{n\in \mathbb{N}}\overline{\{u_k\mid k\ge n\}}$ des valeurs d'adhérence d'une suite $(u_n)$ est toujours non vide donc $(u_n)$ a au moins une sous-suite convergente. On résume cela en disant que tout espace métrique compact est séquentiellement compact (ce qui prouve au passage qu'il est complet). La réciproque, moins évidente, est aussi vraie :

Pour démontrer ce théorème, nous utiliserons deux lemmes :

Modèle:LemmeModèle:Démonstration déroulante Remarquons au passage que tout espace métrique compact est donc borné.

Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Démonstration déroulante

Produit d'espaces compacts

Modèle:Théorème Plus précisément, tout [[../Espace produit|espace produit]] d'une famille (non nécessairement finie) d'espaces quasi-compacts est quasi-compact. Pour le démontrer, nous nous servirons du théorème suivant : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Modèle:Démonstration déroulante