Théorie de la mesure/Tribus

Plusieurs notions mathématiques requièrent implicitement l’existence d'une « structure » sur l'espace sous-jacent. Ainsi, la notion de fonction continue requiert l’existence préalable d'une topologie, la notion de complétude d'un ensemble (ou de suite de Cauchy), dépend d'une métrique, la notion de stationnarité ou d'ergodicité en géométrie dépend d'un groupe de transformations.

Pour ce qui est des mesures, la structure sous-jacente est celle de « tribu », ou « σ-algèbre ». C'est un ensemble de parties de $X$. Un ensemble $X$ muni d'une tribu $𝒜$ est appelé « espace mesurable ». Il est nécessaire de munir un ensemble d'une tribu pour pouvoir effectivement mesurer ses parties, même dans le cas le plus naturel et le plus pratique où l'on veut mesurer des parties de $ℝ$.

Comme pour les topologies, il peut y avoir plusieurs tribus sur un ensemble, avec des relations d'inclusion.

Algèbres

Partons de la fin pour définir une tribu, en partant du concept même de mesure. La propriété fondamentale d'une mesure est l'additivité, qui stipule que pour deux ensembles disjoints $A$ et $B$, $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$. De plus, si $A$ est un sous-ensemble de $B$ et que ces deux ensembles sont mesurables et de mesure finie, on veut définir $\mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A)$. Pour que ces deux égalités aient un sens, il faut imposer de la régularité pour une classe de mesurables :

Avec quelques petites manipulations, ces deux propriétés impliquent que $X\in 𝒜$ et que $𝒜$ est également stable par intersection finie et par complémentation au sein d'un sous-ensemble (le montrer à titre d'exercice). Cela dit, ces propriétés ne suffisent pas pour définir une tribu, mais arrêtons-nous un instant pour comprendre plus « intuitivement » ce qu'est une algèbre. Les algèbres sont des candidates pour y définir des mesures.

Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) d'algèbres sur X est clairement une algèbre sur X, ce qui permet la définition suivante : Modèle:Définition Modèle:Exemple Modèle:Remarque

Tribus

Il est possible d'y définir une mesure. Naturellement, on définit d'abord la mesure d'un ensemble simple (par exemple la longueur d'un intervalle) puis on étend cette mesure à des objets plus complexes en découpant ces dernier objets en des ensembles simples. Pour recoller les morceaux une manière naturelle est d'en prendre l'union puis de mesurer cette union, il faut donc supposer notre classe stable par union. Mais une barrière fondamentale est la dénombrabilité du nombre de morceaux ; en effet, si l'on est trop gourmand et que l'on n'impose pas un découpage dénombrable on autorise toutes les parties de $X$ donc trop de parties mesurables.Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante

De même que toute algèbre est stable par intersection finie, toute tribu est stable par intersection dénombrable : Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante

Une tribu sur $X$ est donc un ensemble non vide $ℳ$ de parties de $X$ sur lesquels on peut faire une infinité dénombrable d'opérations, tout en restant dans la tribu $ℳ$ (mais pas une infinité non dénombrable). La liberté dans une tribu $ℳ$ est presque totale : on peut partir d'un ensemble $A_1$ dans $ℳ$, lui adjoindre un ensemble $A_2\in ℳ$, lui retrancher un autre ensemble $A_3\in ℳ$, passer au complémentaire… faire une infinité dénombrable d'opérations, l’ensemble résultant sera toujours dans $ℳ$.

Opérations sur les tribus

De même que ci-dessus pour les algèbres, toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de tribus sur X est clairement une tribu sur X, ce qui permet la définition suivante : Modèle:Définition

Si $X\subset Y$, en appliquant la définition ci-dessus (image réciproque d'une tribu) à l'injection canonique $f:X\to Y,x\mapsto x$, on obtient : Modèle:Définition

Modèle:Définition Dans le cas important où l'espace topologique $(X,\mathrm{\Theta })$ est à base dénombrable, sa tribu borélienne est engendrée par une famille dénombrable de parties de $X$. Dans le cas encore plus important où $X$ est un ℝ-espace vectoriel normé de dimension finie, on sait que les ouverts sont engendrés par les boules à rayons rationnels et dont les centres ont des coordonnées rationnelles.

En conséquence, on sait exhiber des classes génératrices faciles à manipuler en exploitant les propriétés topologiques de l'espace $(X,\mathrm{\Theta })$ : la tribu des boréliens de $ℝ$ est engendrée par les intervalles réels, les intervalles de la forme $]a,b[$ ou encore ceux de la forme $]-\mathrm{\infty },a]$, avec $a,b\in ℝ$ ou même seulement $\in \mathbb{Q}$. L'espace [[w:Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]] muni de sa topologie usuelle vérifie les mêmes propriétés.

Applications mesurables

Le lemme de transport offre un premier exemple de la puissance de la notion de tribu et des économies qu'elle permet. En effet, dans le cas où la tribu $ℱ$ à l'arrivée est engendrée par une classe $𝒞$, par le lemme de transport, pour montrer que $f$ est mesurable, il suffit de montrer que $f^{-1}(𝒞)\subset ℰ$. Cette remarque est beaucoup utilisée en pratique puisque les espaces mesurables usuels sont munis de tribus engendrée par des classes avec de très bonnes propriétés, comme le montre l'exemple suivant. On cherchera toujours à générer une tribu par des ensembles simples, maniables et en nombre restreint.