Théorie physique des distributions/Exercices/Transformée de Laplace

Exercice 7-1

Calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes :

$a) f (t) = H (t) . \cos^{2} (2 ω t)$

$b) g (t) = H (t) . \sin^{2} (2 ω t)$

$c) h (t) = H (t) . t . \cos^{2} (2 ω t)$

Trouvez l'original de Laplace des fonctions suivantes :

$a) \frac{1}{p (p + 1)^{2}}$

$b) \frac{p^{2} - 1}{(p^{2} + 1) (p^{2} + 4)}$

$c) \frac{p^{3} + 2 p^{2}}{(p^{2} + 2 p + 2) (p^{2} + 2 p + 5)}$

$d) \frac{(e^{- p} + p - 1) (1 - e^{- p})}{p^{2}}$

a) Calculer la transformée de Laplace de la fonction f suivante :

$\forall t \in ℝ, f (t) = {\begin{matrix} 0 & s i & t < t_{0} \\ E & s i & t_{0} ⩽ t < t_{0} + ϵ \\ 0 & s i & t ⩾ t_{0} + ϵ . \end{matrix}$

b) Dans le cas ou E = 1/ε, commenter le résultat obtenu quand ε tend vers zéro.

Soit la fonction f définie par :

$\forall t \in ℝ, f (t) = {\begin{matrix} 0 & s i & t < 0 \\ \frac{1}{ω} e^{- λ t} \sin ω t & s i & t ⩾ 0 . \end{matrix}$

a - Calculer, au sens des distributions, la dérivée seconde de f.

b - Sans utiliser de table, déterminer la transformée de Laplace de f.

c - Toujours sans utiliser de table, déterminer la fonction dont la transformée de Laplace est :

$G (p) = \frac{p^{2}}{(p + λ)^{2} + ω^{2}}$

d - Déterminer λ et ω de façon à ce que l’on ait :

$f^{″} + 2 f^{'} + 4 f = δ$

e - Déterminer une fonction u ∈ ${𝒟_{+}}^{'}$ , telle que :

$u^{″} + 2 u^{'} + 4 u = H (t) . e^{- t} . \cos t$