Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces des distributions

Exercice 2-1

Montrer, en déterminant son support, que la distribution de Dirac est un élément de l'espace ${ℰ}^{\prime }$.

Exercice 2-2

a - Montrez que :

$\mathrm{\forall }x\in [0;1[\ln (1-x)⩽-x$

b - Pour y réel et fixé, calculer :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{y^2}{n^3})}^{n^3}$

c - Montrez que, pour y fixé, et n suffisamment grand :

${(1-\frac{y^2}{n^3})}^{n^3}⩽e^{-y^2}$

d - φ étant une fonction-test de $𝒟$, utiliser le théorème de la convergence dominée pour calculer :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{n}{\sqrt{\pi }}{(1-\frac{x^2}{n})}^{n^3}\phi (x)\mathrm{d}x$

e - en déduire que la distribution de Dirac peut être la limite d'une suite de polynômes.

Exercice 2-3

a - Montrer que pour toute fonction ψ indéfiniment dérivable sur ℝ, et pour tout intervalle borné [a;b],

$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin (\lambda x)\psi (x)\mathrm{d}x=0$

b - En utilisant l'égalité :

$\phi (x)=\phi (0)+(\phi (x)-\phi (0))$

montrer qu'au sens des distributions :

$\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin (\lambda x)}{x}=\pi \delta (x)$

On pourra utiliser l'exercice 1-3 et on rappelle la relation bien connue :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (u)}{u}\mathrm{d}u=\pi$

Exercice 2-4

On définit, sur ℝ, une famille de fonction u_α en posant :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\mathrm{\forall }\alpha \in {ℝ}_{*}^{+}{u}_{\alpha }(x)=\alpha H(x).e^{-\alpha x}$

a - Montrer que u₁ est sommable.

b - En déduire, qu'au sens des distributions :

$\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }{u}_{\alpha }(x)=\delta (x)$

Exercice 2-5

(espace disponible pour y rajouter un exercice)

Exercice 2-6

Soit f, une fonction sommable vérifiant la propriété :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1$

Montrer que, au sens de la convergence des distributions, on a alors :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }nf(nx)=\delta (x)$

Exercice 2-7

On rappelle la relation bien connue :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (x)}{x}\mathrm{d}x=\pi$

a - Calculer :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\sin }^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x$

b - Montrer qu'au sens des distribution :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{1}{n\pi }\frac{{\sin }^2(nx)}{x^2}\right)=\delta (x)$

c - Calculer :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}\frac{1}{n\pi }\frac{{\sin }^2(nx)}{x^2}{e}^{\frac{1}{{(x-\frac{1}{2})}^2-1}}$

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