Théorie physique des distributions/Exercices/Espaces de base

Exercice 1-1

Le but de cet exercice est de montrer que l’ensemble des fonctions test $𝒟$ n’est pas vide.

Montrez que la fonction φ définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\phi (x)=\{\begin{array}{ccc}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(\frac{-1}{1-x^2}\right)& \mathrm{s}\mathrm{i}& |x|⩽1\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}& |x|⩾1.\end{array}$

Est une fonction test de $𝒟$.

Exercice 1-2

Soit φ₀ une fonction test de $𝒟$ vérifiant :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\phi }_0(x)\mathrm{d}x=1$

Montrer que toute fonction test φ de $𝒟$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$\phi ={\psi }^{\prime }+c.{\phi }_0$

avec ψ ∈ $𝒟$ et c ∈ ℝ

Exercice 1-3

Soit φ ∈ $𝒟$. On définit sur ℝ une fonction ψ par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\psi (x)=\{\begin{array}{ccc}\frac{\phi (x)-\phi (0)}{x}& \mathrm{s}\mathrm{i}& x\ne 0\\ {\phi }^{\prime }(0)& \mathrm{s}\mathrm{i}& x=0.\end{array}$

a - Montrer que ψ est dérivable en x = 0 en calculant directement ψ'(0)

b - Montrer que :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ\psi (x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\phi }^{\prime }(tx)\mathrm{d}t$

c - En déduire que ψ est indéfiniment dérivable, retrouver la valeur précédemment obtenue pour ψ'(0), et calculer ψ⁽ⁿ⁾(0).

Exercice 1-4

Soit [a;b], un intervalle de ℝ. Donner un exemple de fonctions test de $𝒟$ qui vaut 1 sur l'intervalle [a;b].