Théorie physique des distributions/Exercices/Dérivation

Exercice 3-1

Soit f la fonction définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝf(x)=|x|$

a - Calculer la dérivée de f en tant que distribution.

b - Calculer ensuite la dérivée seconde de f en tant que distribution.

Exercice 3-2

Soit la fonction physique r définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,r(x)=\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{s}\mathrm{i}& x<0\\ \sqrt{x}& \mathrm{s}\mathrm{i}& x⩾0.\end{array}$

a - Montrer que r n'admet pas de dérivée physique.

b - Calculer la dérivée de r en tant que distribution.

Exercice 3-3

Montrez qu'une distribution ayant une dérivée nulle est une distribution régulière associée à une fonction constante.

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)

Exercice 3-4

Soit φ₀ une fonction test de $𝒟$ vérifiant :

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\phi }_0(x)\mathrm{d}x=1$

Soit T, une distribution. Montrer que T admet une primitive S telle que :

$<S,{\phi }_0>=0$

(On pourra utiliser la propriété démontrée dans l'exercice 1-2)

Exercice 3-5

Soit la suite de fonctions (S_n)_n∈ℕ définie par :

$\mathrm{\forall }x\in ℝS_n(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (n.x)$

a - Étudier la convergence de cette suite au sens des distributions.

b - Ce résultat reste-t-il vrai au sens de la convergence simple des fonctions.

c - Calculer :

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\frac{n}{1+n^2{x}^2}\right)$

Exercice 3-6

Pour tout x réel, que peut-on dire de l’expression :

$\delta (x)+sin(x).{\delta }^{\prime }(x)$

Exercice 3-7

a) Trouver toutes les distributions T qui vérifie la relation :

$x.T=0$

b) Calculer l'expression :

$x.{\delta }^{\prime }$

c) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

$x^2.T=0$

d) Calculer l'expression :

$x^2.{\delta }^{″}$

e) En déduire toutes les distributions T qui vérifie la relation :

$x^2.T=\delta$

Exercice 3-8

Soit φ₀ une fonction test de $𝒟$.

a) Montrer que :

$\mathrm{\forall }T\in {𝒟}^{\prime }{\phi }_0.T=0\Rightarrow <T,{\phi }_0>=0$

b) La réciproque est-elle vraie ?