Théorie physique des distributions/Exercices/Équations différentielles

Exercice 5-1

Montrer que la distribution de Dirac est une solution de l'équation différentielle :

$(e^t-1)y^{″}+2y^{\prime }-y=0$

Exercice 5-2

Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :

$T^{\prime }+T=T_H$

T_H étant la distribution régulière associée à la fonction de Heaviside.

Exercice 5-3

a - Résoudre, dans l’ensemble des distributions, l'équation :

$T^{\prime }-aT=0$

b - En déduire les solutions de l'équation :

$T^{″}-a^{2}T=0$

Exercice 5-4

Soit a, un nombre réel positif.

On se propose de résoudre l'équation :

$T^{″}-a^{2}T=\delta$

a - Montrer que cette équation admet pour solution particulière une fonction nulle pour x < 0.

b - En déduire la forme générale des distributions, solutions de l'équation à résoudre.

c - Existe-t-il une solution particulière de l'équation à résoudre qui soit sommable de -∞ à +∞.

Exercice 5-5

À l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur dans le circuit suivant :

Modèle:Clr (avant de fermer l'interrupteur, le condensateur était déchargé)

Après avoir établi l'équation différentielle régissant le circuit, en déduire l'évolution de la tension V_c en fonction du temps.

Exercice 5-6

soit l'équation différentielle :

$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$

Supposons que cette équation admette la solution :

$y=f(t)$

Quelles relations doit vérifier la fonction f pour que l'équation admette aussi la solution :

$y=H(t).f(t)$

(H étant la distribution de Heaviside)