Théorie physique des distributions/Exercices/Équations de convolution

Exercice 8-1

Soit le circuit :

Modèle:Clr À l'instant t = 0, on applique une tension U à l'entrée du circuit. Décrire l'évolution de la tension U_a en fonction du temps.

On rappelle que l'intensité et la tension au borne du condensateur sont liées par la relation :

$i=C\frac{du}{dt}$

Exercice 8-2

Soit le circuit :

On applique à l'entrée de ce circuit un signal U_e = f(t) avec la fonction f définie par :

$\mathrm{\forall }t\in ℝ,f(t)=\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{s}\mathrm{i}& t<t_0\\ E& \mathrm{s}\mathrm{i}& t_0⩽t<t_0+ϵ\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}& t⩾t_0+ϵ.\end{array}$

Décrire l'évolution de la tension U_a en fonction du temps.

On rappelle que l'intensité et la tension au borne du condensateur sont liées par la relation :

$i=C\frac{du}{dt}$

Exercice 8-3

Trouver une solution de l'équation différentielle :

$t.y^{″}-2y^{\prime }+t.y=0$

qui soit nulle avant l'instant t = 0

Exercice 8-4

Trouver une fonction f vérifiant :

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\cos (t-x).f(x)\mathrm{d}x=1-\cos t$

Exercice 8-5

Soit f, g et h, trois fonctions définies par :

$f(t)=H(t)e^{\lambda t}\lambda ⩾0$

$g(t)=H(t).t.e^{\lambda t}\lambda ⩾0$

$h(t)=H(t).\frac{t^2}{2}{e}^{\lambda t}\lambda ⩾0$

Soit T, la distribution définie par :

$T={\delta }^{\prime }-\lambda \delta$

a) Sans utiliser la transformée de Laplace, montrez que l'inverse de convolution de f est la fonction T :

b) De façon similaire à la question précédente, montrer que l'inverse de convolution de g est la fonction T ⋆ T :

c) De façon similaire à la question précédente, montrer que l'inverse de convolution de h est la fonction T ⋆ T ⋆ T :

Modèle:Solution

Exercice 8-6

Trouver une fonction u à support positif vérifiant :

$H(t).\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{(t-x{)}^2}{2}.e^{t-x}.u(x)\mathrm{d}x=H(t).{\sin }^{3}t$

(On pourra utiliser l'exercice précédent)

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