Théorie du corps de classe/Loi de réciprocité quadratique

Ce chapitre est un résumé de : Introduction à la théorie des nombres/Résidus quadratiques.

Les prémisses de la théorie du corps de classe résident dans cette question simple, posée à l'origine par Euler et Legendre. Si l’on se donne $p,q$ deux nombres premiers, le fait que $p$ soit un carré (on dit plus volontiers résidu quadratique) modulo $q$, implique-t-il que $q$ soit un carré modulo $p$ ? La réponse est évidemment négative, comme le montre l'exemple $p=3,q=7$. On a $7\equiv 1^{2}mod3$, mais 3 n’est pas un résidu quadratique modulo 7.

Gauss apportera finalement la réponse à la question, par la loi de réciprocité quadratique. Avant de l'énoncer, introduisons un formalisme commode.

Dans toute la suite $p,q$ désigneront des nombres premiers impairs et ${𝔽}_p$ désigne le corps à $p$ éléments.

Modèle:Définition On peut étendre la symbole de Legendre sur tout ${𝔽}_p$ en posant $\left(\frac{0}{p}\right)=0$. On définit alors un caractère de Dirichlet sur ${𝔽}_p$. Rappelons à toutes fins utiles le résultat (crucial) suivant.

On en déduit aisément le théorème suivant : Modèle:Théorème On peut maintenant énoncer de manière simple (c'est-à-dire sans disjonction de cas) la loi de réciprocité quadratique sous la forme suivante : Modèle:Théorème

En utilisant le formalisme de la théorie algébrique des nombres, on peut donner une preuve très simple et très éclairante de la loi de réciprocité quadratique. C'est cette voie qu’il faut suivre pour aboutir à la théorie du corps de classe et à des lois de réciprocité généralisées.