Théorie des groupes/Théorèmes de Schur-Zassenhaus et de Philip Hall

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Modèle:Chapitre

Théorème de Schur-Zassenhaus

Rappelons la définition d'un sous-groupe de Hall, déjà donnée dans le chapitre [[../Transfert, théorème du complément normal de Burnside/]] :

Modèle:Clr Modèle:Définition

Nous allons maintenant démontrer le théorème de Schur-Zassenhaus, en utilisant notamment une forme faible de ce théorème qui a déjà été démontrée dans le chapitre [[../Théorème de Gaschütz|Théorème de Gaschütz]].

Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration

Remarque. Dans la partie (b) du théorème de Schur-Zassenhaus, nous avons supposé qu'un au moins des deux groupes K et G/K est résoluble. En fait, puisque les ordres de ces deux groupes sont supposés premiers entre eux, un au moins de ces deux ordres est impair. Or un théorème de Feit et Thompson (dont la démonstration excède les limites d'une introduction à la théorie des groupes) dit que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble. Donc du fait que les ordres de K et de G/K sont premiers entre eux, il résulte qu'un au moins des deux groupes K et G/K est résoluble. On peut donc ôter de la seconde partie du théorème de Schur-Zassenhaus l'hypothèse selon laquelle un au moins des deux groupes K et G/K est résoluble.

Théorème de Philip Hall

Modèle:Lemme Démonstration facile, laissée au lecteur. (Utiliser l’existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.)

Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration

Remarques. 1° Pour démontrer le théorème de Philip Hall, nous avons utilisé le théorème de Schur-Zassenhaus. Il est possible de s'en passer[1], mais cela allonge considérablement la démonstration.
2° Philip Hall a démontré la réciproque que voici du théorème précédent : si G est un groupe fini, si, pour tout diviseur d de |G| tel que d et |G|/d soient premiers entre eux, G admet un sous-groupe d'ordre d, alors G est résoluble. En fait, Ph. Hall a même démontré plus fort : si G est un groupe fini, si pour chaque diviseur premier p de l'ordre de G, G admet un sous-groupe d'indice pnp, où pnp désigne la plus grande puissance de p qui divise l'ordre de G, alors G est résoluble. On démontre assez facilement[2] cette réciproque forte à partir du [[../Le théorème p-q de Burnside|théorème p-q de Burnside]], ou théorème paqb de Burnside, qui sera démontré dans un chapitre ultérieur.

Modèle:Théorème Démonstration. Faire S = 1 dans la première partie du théorème de Philip Hall.

Notes et références

  1. ↑ Voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4Modèle:E éd., tirage corrigé de 1999, p. 108-110 et exerc. 5.31, p. 111.
  2. ↑ Voir J.J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, 4Modèle:E éd., tirage corrigé de 1999, p. 110-111.

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